II OM - I - Zadanie 2

Znaleźć warunek, jaki powinny spełniać współczynniki trójmianów

\[<br />
(1) \qquad x^2 + mx + n  \textrm{ i }  x^2 + px + q,<br />
\]

aby między pierwiastkami każdego z tych trójmianów leżał pierwiastek drugiego trójmianu. Litery $ m $, $ n $, $ p $, $ q $ oznaczają tu liczby rzeczywiste.

Rozwiązanie

Zadanie polega na tym, żeby z założenia, iż trójmiany (1) mają pierwiastki rzeczywiste takie, że para pierwiastków jednego równania i para pierwiastków drugiego równania przedzielają się wzajemnie, wysnuć zależność, jaka wówczas zachodzić musi między współczynnikami $ m $, $ n $, $ p $ i $ q $.

Oznaczmy pierwiastki pierwszego trójmianu przez $ x_1 $, $ x_2 $ i niech wewnątrz przedziału $ (x_1, x_2) $ leży pierwiastek $ x_3 $, a poza tym przedziałem - pierwiastek $ x_4 $ drugiego trójmianu.

\spos{I} Weźmiemy pod uwagę różnice między pierwiastkami jednego trójmianu a pierwiastkami drugiego trójmianu.

Według założenia różnice $ x_3 - x_1 $ i $ x_3 - x_2 $ mają znaki przeciwne, a różnice $ x_4 - x_1 $ i $ x_4 - x_2 $ mają znaki jednakowe, wobec czego

\[<br />
(2) \qquad (x_3 - x_1) (x_3 - x_2) < 0,<br />
\textrm{ a }<br />
(x_4 - x_1) (x_4 - x_2) > 0.<br />
\]

Ponieważ $ x_1 + x_2 == - m $, $ x_1x_2 = n $, więc

\[ (x_3 - x_1) (x_3 - x_2) = x_3^2 - (x_1 + x_2)x_3 + x_1x_2 =<br />
x_3^2 + mx_3 + n \]
\[ (x_4 - x_1) (x_4 - x_2) = x_4^2 - (x_1 + x_2)x_4 + x_1x_2 =<br />
x_4^2 + mx_4 + n \]

Nierówności (2) otrzymują postać

\[<br />
(3) \qquad<br />
x_3^2 + mx_3 + n < 0<br />
\textrm{ i }<br />
x_4^2 + mx_4 + n > 0.<br />
\]

Stąd wynika, że

\[<br />
(4) \qquad (x_3^2 + mx_3 + n) (x_4^2 + mx_4 + n) < 0.<br />
\]

Wykonajmy mnożenie po lewej stronie nierówności (4) uwzględniając przy tym, że $ x_3 + x_4 = -p $, $ x_3x_4 = q $, a $ x_3^2 + x_4^2 = (x_3 + x_4)^2 - 2x_3x_4 = p^2 - 2q $. Otrzymamy

\[<br />
\begin{split}<br />
(x_3^2 & + mx_3 + n)(x_4^2 + mx_4 + n) = x_3^2 x_4^2 + mx_3x_4 (x_3 + x_4) + \\<br />
& + m^2x_3x_4 (x_3^2 + x_4^2) + mn (x_3 + x_4) + n^2 = q^2 - mpq + m^2q +  \\<br />
& + n(p^2 - 2q) - mnp + n^2<br />
= (n - q)^2 + mq (m -p) + np(p-m) = \\<br />
& = (n - q)^2 + (m-p) (mq - np).<br />
\end{split}<br />
\]

Nierówność (4) przybiera postać

\[<br />
(5) \qquad (n - q)^2 + (m - p)(mq - np) < 0.<br />
\]

Uzyskaliśmy twierdzenie: Jeżeli pary pierwiastków trójmianów (1) przedziela się wzajemnie, to współczynniki tych trójmianów spełniają warunek (5).

\spos{II} Oprzemy sie na znanym twierdzeniu o znaku funkcji kwadratowej

\[<br />
f (x) = x^2 + mx + n,<br />
\]

które brzmi:

Jeżeli funkcja $ f(x) = x^2 + mx + n $ mMa pierwiastki rzeczywiste $ x_1 $ i $ x_2 $, przy czym $ x_1 < x_2 $, to w przypadku, gdy $ x_1 < x < x_2 $ jest $ f(x)<0 $, a w przypadku, gdy $ x < x_1 $ lub $ x > x_2 $, jest $ f(x)>0 $.

Jeśli więc liczba $ x_3 $ leży wewnątrz, a liczba $ x_4 $ zewnątrz przedziału $ (x_1, x_2) $, to pierwsza z wartości

\[<br />
(6) \qquad f(x_3) = x^2_3 + mx_3 + n,\<br />
f(x_4) = x_4^2 + mx_4 + n<br />
\]

jest ujemna, a druga dodatnia, wobec czego

\[<br />
(x_3^2 + mx_3 + n) (n_4^2 + mx_4 + n) < 0,<br />
\]

co prowadzi, jak pokazano w sposobie I, do warunku (5).

Rysunek 24 ilustruje wzajemne położenie parabol będących wykresami danych trójmianów kwadratowych

\[<br />
y = x^2 + mx + n \textrm{ i }   y = x^2 + px+ q<br />
\]

o przedzielających się pierwiastkach.

Uwaga 1. Udowodniliśmy wyżej, że jeśli trójmiany (1) mają pierwiastki rzeczywiste i jeśli pary tych pierwiastków wzajemnie się przedzielają, to spełniona jest nierówrówność (5); nierówność ta daje więc warunek konieczny przedzielania się par pierwiastków trójmianów (1).

Wykażemy, że warunek ten jest dostateczny, tzn. że zachodzi twierdzenie odwrotne:

Jeśli spełniona jest nierówność (5), to trójmiany (1) mają pierwiastki rzeczywiste, a przy tym pary pierwiastków tych trójmianów przedzielają się wzajemnie.

Dowód. Podstawmy do omawianej nierówności (5) wyrażenia $ p = -(x_3 + x_4) $, $ q = x_3x_4 $. Otrzymamy nierówność (4), którą wobec wzorów (6) napisać możemy w postaci

\[<br />
(7) \qquad f (x_3) \cdot f (x_4) < 0.<br />
\]

Z nierówności (7) wysnujemy najpierw wniosek, że pierwiastki $ x_3 $ i $ x_4 $ są liczbami rzeczywistymi.

Przypuśćmy, że $ x_3 $ i $ x_4 $ nie są liczbami rzeczywistymi. Z algebry wiemy, że jeśli pierwiastki funkcji kwadratowej są urojone, to są one liczbami zespolonymi sprzężonymi, tzn. że

\[<br />
x_3 = \alpha + i \beta,\<br />
x_4 = \alpha - i \beta,<br />
\]

gdzie $ \alpha $ i $ \beta $ są liczbami rzeczywistymi, a $ i $ oznacza jednostkę urojoną $ (i^2 = - 1) $.

Obliczmy wartości funkcji $ f(x) = x^2 + mx + n $ podstawiając w miejsce $ x $ liczby $ x_3 $ i $ x_4 $:

\[<br />
f(x_3) = (\alpha + i \beta)^2 + m (\alpha + i \beta) + n =<br />
(\alpha^2 - \beta^2 + m\alpha + n) + i (2\alpha \beta + m\beta),<br />
\]
\[<br />
f(x_4) = (\alpha - i \beta)^2 + m (\alpha - i \beta) + n =<br />
(\alpha^2 - \beta^2 - m\alpha + n) - i (2\alpha \beta + m\beta).<br />
\]

Widzimy, że jeśli $ x_3 $ i $ x_4 $ są liczbami zespolonymi sprzężonymi, to wartości $ f(x_3) $ i $ f(x_4) $ są także liczbami zespolonymi sprzężonymi. Iloczyn liczb zespolonych sprzężonych jest liczbą rzeczywistą nieujemną, co widać z równości $ (a + bi) (a - bi) = a^2 + b^2 $; zatem

\[<br />
(8) \qquad f(x_3) \cdot f(x_4) \geq 0.<br />
\]

Przypuszczenie, że $ x_3 $ i $ x_4 $ są liczbami urojonymi, doprowadziło do nierówności (8), sprzecznej, z nierównością (7); liczby $ x_3 $ i $ x_4 $ są więc rzeczywiste.

Wobec tego z nierówności (7) wynika, że wartości $ f(x_3) $ i $ f(x_4) $ są liczbami rzeczywistymi o znakach przeciwnych. W takim razie funkcja $ f(x) = x^2 + mx + n $ ma pierwiastki rzeczywiste $ x_1 $ i $ x_2 $, z których jeden leży między liczbami $ x_3 $ i $ x_4 $, a drugi leży zewnątrz przedziału $ (x_3, x_4) $, czego należało dowieść.

Ostatecznie mamy twierdzenie:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym tego, by trójmiany

\[<br />
x^2 + mx + n<br />
\textrm{ i }<br />
x^2 + px + q<br />
\]

($ m $, $ n $, $ p $, $ q $ - liczby rzeczywiste) miały, rzeczywiste i przedzielające ste wzajemne pary pierwiastków, jest nierówność

\[<br />
(n - q)^2 + (m - p) (mq - np) < o<br />
\]

Uwaga 2. Jeśli pary liczb $ (x_1, x_2) $ i $ (x_3, x_4) $ wzajemnie się przedzielają, to zależnie od tego, która z liczb $ x_3 $, $ x_4 $ leży między liczbami $ x_1 $ i $ x_2 $, bądź różnice $ x_3 - x_1 $, $ x_3 - x_2 $ mają znaki przeciwne, a różnice $ x_4 - x_1 $, $ x_4 - x_2 $ mają znaki jednakowe, bądź rzecz się ma odwrotnie. W obu przypadkach

\[<br />
(9) \qquad (x_3 - x_1)(x_3 - x_2)(x_4 - x_1)(x_4 - x_2) < 0.<br />
\]

Odwrotnie: jeśli zachodzi nierówność (9), to jeden z iloczynów $ (x_3 - x_1)(x_3 - x_2) $ i $ (x_4 - x_1)(x_4 - x_2) $ jest dodatni, a drugi ujemny, zatem pary $ (x_1, x_2) $ i $ (x_3, x_4) $ wzajemnie się przedzielają.

Warunek (9) można zastąpić warunkiem równoważnym

\[<br />
(10) \qquad<br />
\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \colon<br />
\frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2} < 0.<br />
\]

Nierówność (10) wyraża więc warunek konieczny i dostateczny tego, żeby pary liczb $ (x_1, x_2) $ i $ (x_3, x_4) $ wzajemnie się przedzielały.

Wyrażenie znajdujące się po lewej stronie nierówności (10) odgrywa dużą rolę w rozważaniach matematycznych; nazywa się ono dwustosunkiem uporządkowanej czwórki liczb $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $, $ x_4 $ i oznacza symbolem $ (x_1, x_2, x_3, x_4) $.

A więc

\[<br />
(x_1, x_2, x_3, x_4) =<br />
\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \colon<br />
\frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2}<br />
\]

Weźmy na osi liczbowej punkty $ A_1, A_2, A_3, A_4 $ o odciętych $ x_1, x_2, x_3, x_4 $.

Dwustosunek czwórki liczb $ (x_1, x_2, x_3, x_4) $ nazywa się także dwustosunkiem uporządkowanej czwórki punktów $ A_1, A_2, A_3, A_4 $ i oznacza symbolem $ (A_1, A_2, A_3, A_4) $.

Ponieważ różnice odciętych $ x_3 - x_1 $, $ x_3 - x_2 $, $ x_4 - x_1 $, $ x_4 - x_2 $ są miarami względnymi wektorów $ A_1A_3 $, $ A_2A_3 $, $ A_1A_4 $, $ A_2A_4 $ leżących na osi (por. zadanie nr 2 na stronicy 51), przeto

\[<br />
(A_1, A_2, A_3, A_4) = \frac{A_1A_3}{A_2A_3} \colon \frac{A_1A_4}{A_2A_4}.<br />
\]

Widzimy, że dwustosunek $ (A_1, A_2, A_3, A_4) $ jest stosunkiem stosunków, w jakich punkty $ A_3 $ i $ A_4 $ dzielą odcinek skierowany $ A_1A_2 $.

Gdy $ (A_1, A_2, A_3, A_4) < 0 $, pary punktów $ (A_1, A_2) $ i $ (A_3, A_4) $ przedzielają się.

Gdy $ (A_1, A_2, A_3, A_4) > 0 $, pary te nie przedzielają się, tzn. albo jedna para leży wewnątrz drugiej, albo każda para leży zewnątrz drugiej.

W przypadku szczególnym, gdy $ (A_1, A_2, A_3, A_4) = - 1 $, tzn. gdy stosunki podziału $ \frac{A_1 A_3}{A_2A_3} $ i $ \frac{A_1A_4}{A_2A_4} $ są liczbami przeciwnymi, mówimy, że pary $ (A_1, A_2) $ i $ (A_3, A_4) $ przedzielają się harmonicznie albo że czwórka punktów $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $, $ A_4 $ jest harmoniczna.

Taki przypadek mamy na rysunku 25, na którym

\[<br />
\frac{A_1A_3}{A_2A_3} = -2,\<br />
\frac{A_1A_4}{A_2A_4} = 2.<br />
\]

Pojęciem dwustosunku posługujemy się również w teorii liczb zespolonych.

Jeśli $ z_1 $, $ z_2 $, $ z_3 $, $ z_4 $ są różnymi liczbami zespolonymi, to

\[<br />
(z_1, z_2, z_3, z_4) = \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} \colon \frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}.<br />
\]

Niech na płaszczyźnie liczb zespolonych liczbom $ z_1 $, $ z_2 $, $ z_3 $, $ z_4 $ odpowiadają punkty $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $, $ A_4 $ (rys. 26). Dwustosunek czwórki liczb zespolonych $ (z_1, z_2, z_3, z_4) $ nazywamy też dwustosunkiem $ (A_1, A_2, A_3, A_4) $ czwórki punktów płaszczyzny liczb zespolonych.

Ponieważ różnice $ z_3 - z_1 $, $ z_3 - z_2 $, $ z_4 - z_1 $, $ z_4 - z_2 $ przedstawiają wektory $ A_1 A_4 $, $ A_2A_3 $, $ A_1A_4 $, $ A_2A_4 $: przeto

\[<br />
(A_1, A_2, A_3, A_4) = \frac{A_1A_3}{A_2A_3} \colon \frac{A_1A_4}{A_2A_4}.<br />
\]

Dwustosunek czwórki punktów płaszczyzny liczb zespolonych jest na ogół liczbą urojoną.

Ciekawe jest, że dwustosunek $ (A_1,A_2, A_3,A_4) $ wtedy i tylko wtedy jest liczbą rzeczywistą, gdy punkty $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $, $ A_4 $ leżą na okręgu lub na prostej. Jeśli przy tym pary $ (A_1, A_2) $ i $ (A_3, A_4) $ wzajemnie się przedzielają, to $ (A_1, A_2, A_3, A_4) < 0 $, jeśli zaś nie przedzielają się, to $ (A_1, A_2, A_3, A_4) > 0 $.

Np. dla punktów $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $, $ A_4 $ na rysunku 27, odpowiadających liczbom $ 1 $, $ - 1 $, $ i $, $ - i $ mamy

\[<br />
(A_1, A_2, A_3, A_4) =<br />
\frac{i-1}{i+1} \colon \frac{-i-1}{-i+1} =<br />
\frac{(i-1)^2}{(i+1)^2} = \frac{-2i}{2i} = -1.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź