II OM - I - Zadanie 3

W kole poprowadzono dwie równe cięciwy $ AB $ i $ AC $ oraz dowolną cięciwę $ AD $; prosta $ AD $ przecina prostą $ BC $ w pwnkcie $ E $. Dowieść, że iloczyn $ AE \cdot AD $ nie zależy od położenia punktu $ D $ na okręgu, tj. że $ AE \cdot AD = AC^2 $.

Rozwiązanie

Pisząc żądaną równość w postaci proporcji

\[<br />
\frac{AE}{AC} = \frac{AC}{AD}<br />
\]

spostrzegamy, że równość ta wyraża proporcjonalność dwóch par boków trójkątów $ AEC $ i $ ACD $ o wspólnym kącie $ A $.

Dowód sprowadza się zatem do wykazania, że trójkąty $ AEC $ i $ ACD $ są podobne.

Wystarczy w tym celu wskazać jeszcze jedną parę równych kątów w tych trójkątach.

Jeżeli punkt $ E $ leży między punktami $ B $ i $ C $ (rys. 28a), to $ \measuredangle D = \measuredangle B $ (gdyż są to kąty wpisane oparte na łuku $ AC $) i $ \measuredangle B = = \measuredangle ACB $ (ponieważ $ AC =AB $), zatem $ \measuredangle D= \measuredangle ACB $. Jeśli zaś punkt $ E $ leży na przedłużeniu odcinka $ BC $ (rys. 28 b), to $ \measuredangle ADC + \measuredangle B = 180^\circ $ (gdyż są to kąty przeciwległe czworokąta $ ABCD $ wpisanego w koło) i $ \measuredangle ACE + \measuredangle ACB = 180^\circ $, a ponieważ $ \measuredangle B = = \measuredangle ACB $, więc $ \measuredangle ADC = \measuredangle ACE $, co było do okazania.

Uwaga. Powyższe zadanie wiąże się z ważnym pojęciem przekształcenia figury przez inwersję.

Niech będzie dany na płaszczyźnie okrąg $ O(r) $, tj. okrąg o środku $ O $ i promieniu $ r $ (rys. 32).

Jeśli $ A $ jest dowolnym, ale różnym od $ O $ punktem płaszczyzny, to punkt $ A' $ półprostej $ OA $ określony równaniem

\[<br />
OA' = \frac{r^2}{OA}<br />
\]

nazywa się obrazem punktu $ A $ w inwersji względem okręgu $ O(r) $.

Ponieważ

\[<br />
OA = \frac{r^2}{OA'},<br />
\]

więc nawzajem - obrazem punktu $ A' $ jest punkt $ A $.

Związek między odcinkami $ OA $ i $ OA' $ piszemy zwykle w postaci symetrycznej:

\[<br />
OA \cdot OA' = r^2.<br />
\]

Jeżeli $ OA = r $, to $ OA' = r $; wówczas punkty $ A $ i $ A' $ pokrywają się. Jeżeli $ OA < r $, to $ OA' > r $ i na odwrót.

Gdy dany jest jeden z punktów $ A $ i $ A' $, łatwo znaleźć drugi punkt konstrukcyjnie, np. tak, jak pokazuje rysunek 32, na którym $ \measuredangle OTA = 90^\circ $ i $ OA \cdot OA' = OT^2 $.

Każdy punkt płaszczyzny, z wyjątkiem punktu $ O $, ma określony obraz na tej płaszczyźnie i każdy punkt, z wyjątkiem punktu $ O $, jest obrazem określonego punktu płaszczyzny. Mówimy, że inwersja względem okręgu $ O(r) $ jest przekształceniem płaszczyzny bez punktu $ O $ na samą siebie.

Przekształcenie to ma wiele ciekawych własności. Ograniczymy się tutaj do wyznaczenia obrazów linii prostych i okręgów, czyli do wyznaczenia figur, na które przy inwersji przechodzą proste i okręgi.

Okrąg o środku $ O $ przechodzi na takiż okrąg. W szczególności okrąg $ O(r) $ pokrywa się ze swym obrazem, i to w ten sposób, że każdy jego punkt jest swym własnym obrazem. Punkty leżące wewnątrz okręgu $ O(r) $ mają obrazy zewnątrz $ O(r) $ - i na odwrót.

Obrazem każdej półprostej wychodzącej ze środka $ O $ jest ta sama półprosta, ale każdy jej punkt przechodzi przy tym w inny punkt, z wyjątkiem punktu przecięcia półprostej z okręgiem $ O(r) $; punkt ten pozostaje na miejscu.

Obrazem prostej $ m $ nie przechodzącej przez środek $ O $ jest okrąg przechodzący przez punkt $ O $, jednak bez samego punktu $ O $; na odwrót - obrazem takiego ,,przerwanego'' okręgu jest prosta nie przechodząca przez środek $ O $. Dowód tego twierdzenia jest prosty (rys. 33).

Niech obrazami punktów $ A $ i $ B $ w inwersji względem okręgu $ O(r) $ będą punkty $ A' $ i $ B' $. Z równości $ OA \cdot OA' = OB \cdot OB' $, która daje proporcję

\[<br />
\frac{OA}{OB} = \frac{OB'}{OA'}<br />
\]

wnioskujemy, że trójkąty $ OAB $ i $ OB'A' $ są podobne i $ \measuredangle OAB = \measuredangle OB'A' $. Gdy zatem punkt $ B $ zakreśla prostą $ m $ prostopadłą do prostej $ OA $, wówczas punkt $ B' $ zakreśla okrąg $ m' $ o średnicy $ OA' $ - i na odwrót.

Na rysunku 33a jest $ OA > OA' $ i prosta $ m $ leży zewnątrz okręgu $ m' $, na rysrnku 33b $ OA =OA' $ i linie $ m $ i $ m' $ są styczne; wreszcie na rysunku 33c jest $ OA < OA' $, prosta $ m $ przecina okrąg $ m' $ i powstaje taka sama figura, jak w powyższym zadaniu nr 23. Zadanie nr 23 w swej istocie polegało właśnie na wykazaniu, że w inwersji o środku $ A $ i promieniu $ AC $ (rysunki 28-31) obrazem okręgu przechodzącego przez punkty $ A $, $ B $, $ C $ jest prosta $ BC $.

Wykażemy jeszcze, że obrazem okręgu $ m $ nie przechodzącego przez środek inwersji $ O $ jest okrąg również nie przechodzący przez środek $ O $.

Niech obrazem punktu $ A $ okręgu $ m $ będzie punkt $ A' $ (rys. 34 a) i niech prosta $ OA $ przecina okrąg $ m $ jeszcze w punkcie $ B $.

Wówczas

\[<br />
OA \cdot OA' = r^2<br />
\]

oraz

\[<br />
OA \cdot OB =k^2<br />
\]

(iloczyn odcinków siecznej równa się stałej).

Stąd otrzymujemy

\[<br />
OA' = \left( \frac{r}{k} \right)^2 \cdot OB.<br />
\]

Punkt $ A' $ odpowiada zatem punktowi $ B $ w jednokładności względem środka $ O $, stosunkiem jednokładności jest liczba $ \left( \frac{r}{k} \right)^2 $.

Gdy punkt $ A $, a wraz z nim i punkt $ B $ zakreśla okrąg $ m $, punkt $ A' $ zakreśla okrąg $ m' $ jednokładny z okręgiem $ m $ względem punktu $ ) $. Okrąg $ m' $ jest więc obrazem okręgu $ m $ zarówno w jednokładności względem punktu $ O $, jak w inwersji względem okręgu $ O(r) $. Lecz każde z tych przekształceń inaczej przyporządkowuje punkty jednego okręgu punktom drugiego. Np. punktowi $ A' $ odpowiada w inwersji punkt $ A $, w jednokładności zaś - punkt $ B $. Środkowi $ S $ okręgu $ m $ (rys. 34 a) odpowiada w inwersji nie środek okręgu $ m' $, lecz inny punkt $ S' $; podobnie środkowi $ T' $ okręgu $ m' $ odpowiada punkt $ T $ różny od środka okręgu $ m $. Na rysunkach 34 a, c i d środek $ O $ leży zewnątrz, a na rysunku 34 b - wewnątrz okręgu $ m $.

Jeśli okrąg $ m $ przecina okrąg inwersji $ O(r) $, to jego obraz $ m' $ przecina okrąg $ O(r) $ w tych samych punktach.

Ćwiczenie. W jakim przypadku okręgi $ m $ i $ m' $ pokrywają się?

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź