II OM - I - Zadanie 4

Dane są dwie przecinające się płaszczyzny $ A $ i $ B $ oraz prosta $ m $ przecinająca płaszczyzny $ A $ i $ B $. Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków równoległych do prostej $ m $, których końce leżą na płaszczyznach $ A $ i $ B $.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ M $ i $ N $ punkty przecięcia prostej $ m $ z płaszczyznami $ A $ i $ B $, przez $ S $ - środek odcinka $ MN $ i przez $ s $ - prostą przecięcia płaszczyzn $ A $ i $ B $. Mamy znaleźć figurę utworzoną przez środki wszystkich odcinków $ XY $ równoległych do odcinka $ MN $ i mających swe końce $ X $ i $ Y $ na płaszczyznach $ A $ i $ B $.

W tym celu weźmy pod uwagę pęk płaszczyzn o krawędzi $ m $, tj. zbiór wszystkich płaszczyzn przechodzących przez prostą $ m $. Każdy odcinek $ XY $, jako równoległy do prostej $ MN $, leży w którejś z płaszczyzn tego pęku. Szukane miejsce geometryczne wyznaczymy więc, gdy znajdziemy jego punkty w każdej z płaszczyzn pęku. Rozróżnimy dwa przypadki.

1° Niechaj płaszczyzna pęku przecina prostą $ s $ w punkcie $ P $, a więc płaszczyzny $ A $ i $ B $ po prostych $ PM $ i $ PN $ (rys. 35a). Te z rozważanych odcinków $ XY $, które leżą w płaszczyźnie $ MPN $ mają swe końce na prostych $ PM $ i $ PN $; środki $ Z $ tych odcinków tworzą zatem prostą $ p $ przechodzącą przez punkty $ P $ i $ S $.

2° Niechaj płaszczyzna pęku będzie równoległa do prostej $ s $, a więc przecina płaszczyzny $ A $ i $ B $ po prostych $ MK $ i $ NL $ równoległych do prostej $ s $ (rys. 35b).

Te z rozważanych odcinków $ XY $, które leżą w płaszczyźnie $ MKS $, mają swe końce na prostych $ MK $ i $ NL $, a środki $ Z $ tych odcinków tworzą prostą $ q $ przechodzącą przez punkt $ S $ i równoległą do prostej $ s $.

Żądane miejsce geometryczne składa się zatem z punktów wszystkich prostych poprowadzonych przez punkt $ S $ do wszystkich punktów $ P $ prostej $ s $ oraz z punktów prostej $ q $ poprowadzonej przez punkt $ S $ równolegle do prostej $ s $.

Punkty te tworzą płaszczyznę wyznaczoną przez punkt $ S $ i prostą $ s $.

Uwaga. Można by mieć wątpliwości, czy prosta $ s $ należy do naszego miejsca geometrycznego, albowiem prosta równoległa do prostej $ m $, poprowadzona z punktu prostej $ s $, przecina obie płaszczyzny $ A $ i $ B $ w tym samym punkcie i nie ma na tej prostej odcinka $ XY $. W geometrii jednak dogodnie jest wprowadzić umowę, że jeśli punkty $ X $ i $ Y $ pokrywają się, to tworzą odcinek zerowy, tj. odcinek utworzony z jednego tylko punktu, który w takim razie jest początkiem, końcem i zarazem środkiem tego odcinka.

Przy takiej umowie prosta $ s $ należy do wyznaczonego miejsca geometrycznego.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź