II OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeśli $ n $ jest liczbą naturalną parzystą, to liczba $ 13^n + 6 $ jest podzielna przez $ 7 $.

Rozwiązanie

Wystarczy dowieść, że gdy $ n $ jest parzyste, to $ 13^n $ daje przy dzielniku $ 7 $ resztę $ 1 $.

Zastosujemy metodę indukcji zupełnej.

Niech $ n = 2k $. Gdy $ k = 1 $, twierdzenie jest prawdziwe, gdyż

\[<br />
13^2 = 169 = 7 \cdot 24 + 1.<br />
\]

Przypuśćmy, że dla pewnego $ k $ zachodzi równość

\[<br />
13^{2k} = 7m + 1,<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną.

W takim razie

\[<br />
13^{2(k+1)} = 13^{2k} \cdot 13^2 = (7m + 1) (7 \cdot 24+ 1) =<br />
7 \cdot (169 m + 24) + 1.<br />
\]

Z tego wnosimy, że twierdzenie j est prawdziwe dla każdego naturalnego $ k $.

Uwaga. Wzór (1) otrzymuje się w łatwy sposób ze wzoru na sumę postępu geometrycznego:

\[<br />
1 + q + q^2 + \ldots + q^{m-1} = \frac{1 - q^m}{1-q},\<br />
q \ne 1<br />
\]

Gdy do tego wzoru podstawimy $ q = - \frac{a}{b} $ i uwzględnimy, że $ m $ jest nieparzyste, otrzymamy po prostych przekształceniach wzór (1). Wymaga to zastrzeżenia, że $ b \ne 0 $ i $ a + b \ne 0 $.

Gdy $ b = 0 $ lub gdy $ a+b=0 $, wzór (1) jest oczywisty.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź