II OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli suma liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ c $ jest równa $ 1 $, to

\[<br />
(1) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9.<br />
\]

Rozwiązanie

Dzieląc obie strony równości $ 1=a+b+c $ kolejno przez $ a $, $ b $, $ c $ otrzymamy

\[ \frac{1}{a} = 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} \]
\[ \frac{1}{b} = \frac{a}{b} + 1 + \frac{c}{b} \]
\[ \frac{1}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + 1\]

Zatem

\[<br />
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} =<br />
3 +<br />
\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +<br />
\left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) +<br />
\left( \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \right).<br />
\]

Otóż

\[<br />
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} =<br />
\frac{(a-b)^2 + 2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab} + 2.<br />
\]

Stąd natychmiast wynika, że

\[<br />
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2<br />
\textrm{ i tak samo }<br />
\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2,\<br />
\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \geq 2.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \geq<br />
3 + 2 + 2 + 2,<br />
\textrm{ czyli }<br />
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9.<br />
\]

Uwaga 1. Można by zapytać, w jakich przypadkach zachodzi (przy danych założeniach) równość

\[<br />
(3) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 9,<br />
\]

tzn. przy jakich wartościach dodatnich $ a $, $ b $, $ c $, dających w sumie $ 1 $, suma odwrotności $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} $ osiąga swą największą wartość $ 9 $.

Odpowiedź na to pytanie łatwo wysnuć z każdego z powyższych dowodów. Rozumując sposobem I uzyskamy równość (3) wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{b}{c} + \frac{c}{b} = \frac{c}{a} + \frac{a}{c} = 2,<br />
\]

tzn. gdy

\[<br />
a = b = c = \frac{1}{3}.<br />
\]

Uwaga 2. Niech $ a $, $ b $, $ c $ będą dowolnymi liczbami dodatnimi. Utwórzmy liczby

\[<br />
m = \frac{a}{a + b + c},\<br />
n = \frac{b}{a + b + c},\<br />
p = \frac{c}{a + b + c}.<br />
\]

Ponieważ suma liczb $ m $, $ n $, $ p $ równa się $ 1 $, więc stosując do nich nierówność (1) mamy nierówność

\[<br />
\frac{a + b + c}{a} +<br />
\frac{a + b + c}{b} +<br />
\frac{a + b + c}{c} \geq 9,<br />
\]

czyli nierówność

\[<br />
(a + b + c) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9,<br />
\]

którą możemy napisać w postaci

\[<br />
(4) \qquad<br />
\frac{a + b + c}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}.<br />
\]

Lewa strona nierówności (4) jest średnią arytmetyczną liczb $ a $, $ b $, $ c $, prawa zaś jest odwrotnością średniej arytmetycznej liczb $ \frac{1}{a} $, $ \frac{1}{b} $, $ \frac{1}{c} $, czyli średnią harmoniczną liczb $ a $, $ b $, $ c $.

Nierówność (4) wyraża twierdzenie:

Średnia arytmetyczna trzech liczb dodatnich jest co najmniej równa średniej harmonicznej tych liczb.

Równość tych średnich zachodzi tylko w przypadku, gdy $ a = b =c $ (patrz uwagę 1).

Twierdzenie (4) o średniej arytmetycznej i średniej harmonicznej wywnioskowaliśmy z twierdzenia udowodnionego w powyższym zadaniu nr 21. Odwrotnie, to ostatnie twierdzenie jest wnioskiem z twierdzenia (4), gdyż jeśli $ a + b + c = 1 $, to z nierówności (4) otrzymujemy nierówność (1). Twierdzenia te są zatem równoważne.

Uwaga 3. Rozumując tak samo, jak w sposobie I i w uwadze 1, łatwo udowodnimy twierdzenie ogólniejsze:

Jeżeli suma liczb dodatnich $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ jest równa $ 1 $, to

\[<br />
\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n} \geq n^2,<br />
\]

przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy $ a_1 = a_2 = \ldots = a_n $.

Stwierdzamy jak w uwadze 2, że twierdzenie powyższe jest równoważne twierdzeniu:

Jeśli $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ są liczbami dodatnimi, to ich średnia arytmetyczna jest co najmniej równa średniej harmonicznej, tzn.

\[<br />
\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq n \colon<br />
\left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n} \right),<br />
\]

przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy $ a_1 = a_2 = \ldots = a_n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź