II OM - I - Zadanie 7

Dany jest okrąg $ C $ oraz punkty $ A $ i $ B $ leżące w nierównych odległościach od środka tego okręgu. Dowieść, że wspólne cięciwy okręgu $ C $ z okręgami przechodzącymi przez punkty $ A $ i $ B $ leżą na prostych mających jeden punkt wspólny.

Rozwiązanie

Gdy jeden z danych punktów, np. punkt $ A $, leży na okręgu $ C $, twierdzenie jest oczywiste, gdyż wtedy wszystkie cięciwy, o których mowa w twierdzeniu, mają wspólny koniec $ A $.

Przeprowadzimy dowód dla przypadku, gdy żaden z punktów $ A $ i $ B $ nie leży na danym okręgu $ C $.

Weźmy pod uwagę dwa okręgi $ K_1 $ i $ K_2 $ przechodzące przez dane punkty $ A $ i $ B $ i przecinające okrąg $ C $, pierwszy - w punktach $ M $ i $ N $, drugi - w punktach $ P $ i $ Q $ (rys. 36).

Proste $ MN $ i $ PQ $ przecinają się. Istotnie, gdyby proste $ MN $ i $ PQ $ były równoległe, to odcinki $ MN $ i $ PQ $, jako równoległe cięciwy okręgu $ C $, miałyby wspólną symetralną przechodzącą przez środek okręgu $ C $. Symetralna ta przechodziłaby też przez środki okręgów $ K_1 $ i $ K_2 $, byłaby zatem również symetralną odcinka $ AB $. Środek okręgu $ C $ byłby więc równo oddalony od punktów $ A $ i $ B $, wbrew założeniu.

Wykażemy, że punkt przecięcia $ S $ prostych $ MN $ i $ PQ $ leży na prostej $ AB $. W tym celu zauważmy najpierw, że punkt $ S $ jest bądź punktem przecięcia cięciw $ MN $ i $ PQ $ (rys. 36 a), bądź punktem przecięcia przedłużeń tych cięciw (rys. 36 b). W pierwszym przypadku punkt $ S $ leży wewnątrz wszystkich trzech okręgów $ C $, $ K_1 $ i $ K_2 $, w drugim przypadku punkt $ S $ leży na zewnątrz każdego z tych trzech okręgów.

Rozumowanie poniższe stosuje się do obu przypadków.

Weźmy pod uwagę prostą $ SA $ i oznaczmy drugi punkt wspólny tej prostej z okręgiem $ K_1 $ - przez $ B' $, a drugi punkt wspólny z okręgiem $ K_2 $ - przez $ B'' $. Nie wiemy z góry, czy któryś z punktów $ B' $, $ B'' $ nie pokrywa się z punktem $ A $, co mogłoby się oczywiście zdarzyć tylko w takim przypadku, jak na rysunku 36 b. Z dalszego rozumowania okaże się, że to nie jest możliwe.

Na podstawie znanego twierdzenia o siecznych okręgu możemy napisać:

\[ SA \cdot SB' = SM \cdot SN (\textrm{sieczne okręgu } K_1) \]
\[ SA \cdot SB'' = SP \cdot SQ (\textrm{sieczne okręgu } K_2) \]
\[ SM \cdot SN = SP \cdot SQ (\textrm{sieczne okręgu } C) \]

Zatem

\[<br />
SA \cdot SB' = SA \cdot SB'',<br />
\]

a stąd

\[<br />
SB' = SB''.<br />
\]

Ponieważ punkty $ B' $ i $ B'' $ zarówno w pierwszym, jak i w drugim przypadku leżą na prostej $ SA $ po tej samej stronie punktu $ S $, przeto z otrzymanej równości wynika, że $ B' $ i $ B'' $ są jednym i tym samym punktem - jednym ze wspólnych punktów okręgów $ K_1 $ i $ K_2 $. Punktem tym nie może być $ A $, gdyż oznaczałoby to, że prosta $ SA $ jest wspólną styczną okręgów $ K_1 $ i $ K_2 $ w punkcie $ A $, co jest niemożliwe, bo okręgi $ K_1 $ i $ K_2 $ nie są styczne. Zatem punkty $ B' $ i $ B'' $ pokrywają się z punktem $ B $, a z tego wynika, że punkt $ S $ leży na prostej $ AB $.

Ten sam punkt $ S $ otrzymamy kreśląc dowolny okrąg przechodzący przez punkty $ A $ i $ B $ i przecinający okrąg $ C $ w punktach $ P' $ i $ Q' $, albowiem - według powyższego - prosta $ P'Q' $ przecina prostą $ MN $ w punkcie prostej $ AB $, tzn. w punkcie $ S $.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Uwaga 1. Gdy punkty $ A $, $ B $ są równo oddalone od środka okręgu $ C $, wtedy wspólne cięciwy okręgu $ C $ z okręgami przechodzącymi przez punkty $ A $, $ B $ są równoległe do prostej $ AB $, gdyż figura będzie symetryczna względem symetralnej odcinka $ AB $.

Uwaga 2. Rozumowanie przeprowadzone wyżej dla okręgów $ K_1 $ i $ K_2 $ może być zastosowane również wtedy, gdy jeden z tych okręgów lub nawet oba są styczne do okręgu $ C $ - z tą odmianą, że zamiast siecznej $ MN $ lub $ PQ $ rozważać należy wspólną styczną okręgów $ C $ i $ K_1 $ lub okręgów $ C $ i $ K_2 $. Owe wspólne styczne przechodzą przez wyznaczony powyżej punkt $ S $ prostej $ AB $.

Uwaga 3. Twierdzenie, które wyżej udowodniliśmy powołując się na twierdzenie o siecznych okręgu, można wysnuć jako prosty wniosek z własności osi potęgowej dwóch okręgów. Objaśnimy to podając pokrótce potrzebne wiadomości.

Niech będzie dany okrąg $ O(r) $, tzn. okrąg o środku $ O $ i promieniu $ r $, oraz punkt $ P $ leżący w płaszczyźnie okręgu w odległości $ d $ od punktu $ O $. Liczba

\[<br />
d^2 -r^2<br />
\]

nazywa się potęgą punktu $ P $ względem okręgu $ O(r) $. Liczba ta jest dodatnia, ujemna lub równa zeru odpowiednio dla punktów leżących zewnątrz okręgu, wewnątrz okręgu lub na okręgu.

Posługując się miarami względnymi odcinków skierowanych na osi $ PO $ (rys. 37) mamy

\[<br />
PO = d,\ - OA =0B =r.<br />
\]

Zatem

\[<br />
d^2 - r^2 = (d - r) (d + r) = (PO + OA) (PO + OB) = PA \cdot PB.<br />
\]

Poprowadźmy przez punkt $ P $ prostą przecinającą okrąg w punktach $ M $ i $ N $. Według znanego twierdzenia mamy

\[<br />
PM \cdot PN = PA \cdot PB.<br />
\]

Zachodzi więc równość

\[<br />
d^2 - r^2 = PM \cdot PN.<br />
\]

Równość ta wyraża twierdzenie:

Potęga punktu $ P $ względem okręgu równa się iloczynowi miar względnych odcinków dowolnej siecznej okręgu przechodzącej przez punkt $ P $, skierowanych od punktu $ P $ do punktów przecięcia siecznej z okręgiem.

W wysłowieniu tego twierdzenia można miary względne odcinków skierowanych zastąpić długościami odcinków zmieniając jednocześnie wyraz potęga na wyrazy: wartość bezwzględna potęgi.

Weźmy pod uwagę dwa niewspółśrodkowe okręgi $ O_1(r_1) $ i $ O_2(r_2) $ na płaszczyźnie; niech $ O_1O_2 = a $ (rys. 38). Wykażemy, że na prostej $ O_1O_2 $ istnieje jeden i tylko jeden taki punkt $ H $, którego potęgi względem danych okręgów są równe, tj.

\[<br />
O_1H^2 - r_1^2 = HO_2^2 - r_2^2.<br />
\]

Napiszmy powyższą równość w postaci

\[<br />
(1) \qquad O_1H^2 - HO_2^2 = r_1^2 - r_2^2.<br />
\]

Jeśli $ O_1H $ i $ HO_2 $ oznaczają miary względne odcinków na osi $ O_1O_2 $, to

\[<br />
(2) \qquad O_1H + HO_2 = a.<br />
\]

Dzieląc równości (1) i (2) stronami otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad O_1H - HO_2 =  \frac{r_1^2 - r_2^2}{a}.<br />
\]

Z równań (2) i (3) możemy obliczyć $ O_1H $ i $ HO_2 $:

\[<br />
O_1H = \frac{1}{2} \left( a + \frac{r_1^2 - r_2^2}{a} \right),\<br />
HO_2 = \frac{1}{2} \left( a - \frac{r_1^2 - r_2^2}{a} \right).<br />
\]

Wartości te spełniają warunek (1) i wyznaczają jednoznacznie punkt $ H $. Wynika z tego natychmiast twierdzenie:

Miejscem geometrycznym punktów płaszczyzny, których potęgi względem dwóch okręgów niewspółśrodkowych są równe, jest prosta prostopadła do linii środków tych okręgów i przechodząca przez wyżej określony punkt $ H $ tej linii.

Istotnie, jeśli $ A $ jest dowolnym punktem płaszczyzny, a $ K $ - rzutem punktu $ A $ na prostą $ O_1O_2 $ (rys. 38), to

\[<br />
AO_1^2 - r_1^2 = AK^2 + O_1K^2 - r_1^2<br />
\]
\[<br />
AO_2^2 - r_2^2 = AK^2 + KO_2^2 - r_2^2<br />
\]

z czego widzimy, że równość potęg

\[<br />
AO_1^2 - r_1^2 = AO_2^2 - r_2^2<br />
\]

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość potęg

\[<br />
O_1K^2 - r_1^2 = KO_2^2 - r_2^2,<br />
\]

tzn. gdy punkt $ K $ pokrywa się z wyznaczonym poprzednio punktem $ H $. Żądanym miejscem geometrycznym jest zatem prosta $ p $ poprowadzona przez punkt $ H $ prostopadle do prostej $ O_1O_2 $.

Prosta $ p $ nazywa się osią potęgową okręgów $ O_1(r_1) $ i $ O_2(r_2) $.

Punkt wspólny dwóch okręgów należy do osi potęgowej tych okręgów, gdyż ma względem każdego z nich potęgę równą zeru. A zatem oś potęgowa okręgów przecinających się przechodzi przez ich punkty przecięcia, a oś potęgowa okręgów stycznych jest ich wspólną styczną w punkcie styczności; natomiast oś potęgowa okręgów nie mających punktów wspólnych leży na zewnątrz obu okręgów.

Jeśli środki trzech okręgów nie leżą na jednej prostej, to trzy osie potęgowe trzech par z tych okręgów przechodzą przez jeden punkt, zwany środkiem potęgowym trzech okręgów.

Istotnie, owe trzy osie potęgowe, jako prostopadłe do trzech boków trójkąta utworzonego przez środki okręgów, przecinają się parami; punkt przecięcia dwóch osi potęgowych ma równe potęgi względem wszystkich trzech okręgów, więc leży również na trzeciej osi potęgowej.

Twierdzenie o środku potęgowym pozwala łatwo wykreślić oś potęgową dwóch okręgów nie mających punktów wspólnych.

Kreślimy okrąg pomocniczy przecinający dane okręgi i wyznaczamy środek potęgowy trzech okręgów; leży on na szukanej osi potęgowej.

Na rysunku 39 wysnaczono dwa punkty $ S $ i $ T $ poszukiwanej osi potęgowej $ p $ przy użyciu dwóch okręgów pomocniczych.

Jeżeli środki trzech okręgów są różnymi punktami i leżą na jednej prostej, to trzy osie potęgowe trzech par z tych okręgów są bądź trzema prostymi równoległymi, bądź pokrywają się i tworzą jedną prostą.

Powróćmy do twierdzenia z zadania nr 22 i do rysunku 36. Dowód tego twierdzenia możemy obecnie ująć krótko:

Wszystkie okręgi $ K_1, K_2, \ldots $ przechodzące przez punkty $ A $ i $ B $ mają wspólną oś potęgową - prostą $ AB $. Osią potęgową okręgów $ K_1 $ i $ C $ jest prosta $ MN $. Punkt przecięcia $ S $ prostych $ AB $ i $ MN $ jest środkiem potęgowym okręgów $ C $, $ K_1 $ i dowolnego okręgu $ K_2 $ przechodzącego przez punkty $ A $ i $ B $. Jeśli okrąg $ K_2 $ przecina okrąg $ C $ w punktach $ P $ i $ Q $, to prosta $ PQ $, jako oś potęgowa okręgów $ C $ i $ K_2 $, przechodzi przez punkt $ S $, czego należało dowieść.

Udowodnione twierdzenie pozwala rozwiązać prostym sposobem zadanie konstrukcyjne:

Wykreślić okrąg styczny do danego okręgu $ C $ i przechodzący przez dwa dane punkty $ A $ i $ B $.

Gdy punkty $ A $ i $ B $ nie są równo oddalone od środka okręgu $ C $, kreślimy okrąg pomocniczy przechodzący przez punkty $ A $ i $ B $ i przecinający okrąg $ C $ w punktach $ M $ i $ N $. Wyznaczamy punkt przecięcia $ S $ prostych $ AB $ i $ MN $. Z punktu $ S $ prowadzimy styczną do okręgu $ C $. Jeśli punkt styczności $ T $ tej stycznej z okręgiem $ C $ nie leży na prostej $ AB $, to okrąg przechodzący przez punkty $ A $, $ B $, $ T $ jest okręgiem żądanym.

Gdy punkty $ A $ i $ B $ są równo oddalone od środka okręgu $ C $, wówczas punkt $ T $ otrzymamy w przecięciu symetralnej odcinka $ AB $ z okręgiem $ C $.

Zadanie może mieć dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie, lub nie mieć żadnego rozwiązania.

Szczegółowa dyskusja (której wysnucie z poprzednich rozważań pozostawiamy jako ćwiczenie) daje wynik następujący:

1° W przypadku, gdy punkty $ A $ i $ B $ leżą wewnątrz okręgu $ C $, a także w przypadku, gdy punkty $ A $ i $ B $ leżą zewnątrz okręgu $ C $, ale prosta $ AB $ nie jest styczna do okręgu - zadanie ma dwa rozwiązania.

2° Gdy punkty $ A $ i $ B $ leżą zewnątrz okręgu $ C $ i prosta $ AB $ jest styczna do tego okręgu, zadanie ma jedno rozwiązanie.

3° Gdy jeden z punktów $ A $ i $ B $ leży na okręgu $ C $, a drugi punkt leży bądź wewnątrz tego okręgu, bądź zewnątrz niego, ale tak, że prosta $ AB $ nie jest styczna do okręgu - zadanie ma jedno rozwiązanie.

4° We wszystkich pozostałych przypadkach, tzn. w przypadku, gdy jeden z punktów $ A $ i $ B $ leży na okręgu $ C $, a drugi na stycznej do tego okręgu w pierwszym punkcie, a także w przypadku, gdy jeden punkt leży wewnątrz okręgu $ C $, a drugi zewnątrz tego okręgu, wreszcie w przypadku, gdy oba punkty $ A $ i $ B $ leżą na danym okręgu $ C $ - zadanie nie ma rozwiązania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź