II OM - I - Zadanie 8

Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków o danej długości $ a $, których końce leżą na dwóch prostych wzajemnie prostopadłych (przecinających się lub skośnych).

Rozwiązanie

A. Niech $ m $ i $ n $ będą dwiema prostymi prostopadłymi przecinającymi się w punkcie $ O $ (rys. 40).

Niech punkt $ S $ będzie środkiem odcinka $ MN $ o długości $ a $ i o końcach położonych na prostych $ m $ i $ n $. W prostokącie $ OMPN $ (który redukuje się do odcinka $ MN $, gdy $ M $ lub $ N $ pokrywa się z $ O $) mamy

\[<br />
OS = SM = \frac{1}{2}a<br />
\]

Punkt $ S $ leży zatem na okręgu leżącym w płaszczyźnie prostych $ m $ i $ n $, mającym środek $ O $ i promień $ \frac{1}{2} a $.

Odwrotnie, niech $ S $ będzie punktem tego okręgu, tj. niech $ OS = \frac{1}{2} a $. Punkt $ S $ jest wtedy środkiem pewnego odcinka o długości $ a $ i o końcach, leżących na prostych $ m $ i $ n $. Odcinek ten otrzymamy odmierzając na przedłużeniu odcinka $ OS $ odcinek $ SP = OS $ i budując prostokąt $ OMPN $; wówczas

\[<br />
MN = 0P = 2 \cdot OS =a.<br />
\]

W przypadku, gdy punkt $ S $ leży na jednej z danych prostych, prostokąt $ OMPN $ redukuje się do odcinka $ OP $.

Wykazaliśmy, że jeśli proste $ m $ i $ n $ przecinają się, to poszukiwanym miejscem geometrycznym jest okrąg leżący w płaszczyźnie danych prostych, mający środek $ O $ i promień $ \frac{1}{2} a $.

{\kom B.} Rozważmy z kolei przypadek, kiedy proste $ m $ i $ n $ są skośne. Niechaj najkrótsza odległość tych prostych równa się $ d $.

Na rysunku najdogodniej przedstawić proste $ m $ i $ n $ za pomocą rzutów prostokątnych na dwie płaszczyzny wzajemnie prostopadłe. Za rzutnię poziomą obierzemy płaszczyznę $ a $ równoległą do obu prostych $ m $ i $ n $, a za rzutnię pionową - dowolną płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny $ a $. Rzutami poziomymi prostych $ m $ i $ n $ są wówczas proste $ m' $ i $ n' $ wzajemnie prostopadłe, a rzutami pionowymi - proste równoległe $ m'' $ i $ n'' $, których odstęp równa się $ d $.

Rzuty te przedstawione są na rysunku 41. Punkty $ P $ i $ Q $ prostych $ m $ i $ n $, których wspólnym rzutem poziomym jest punkt przecięcia rzutów $ m' $ i $ n' $, wyznaczają najkrótszą odległość $ PQ $ prostych $ m $ i $ n $. Środek $ O $ odcinka $ PQ $ ma rzuty: $ O' = P' = Q' $, $ O'' $ jest środkiem odcinka $ P''Q'' $.

Połączmy punkt $ M $ prostej $ m $ z punktem $ N $ prostej $ n $. Rzuty środka $ S $ odcinka $ MN $ znajdują się w środkach $ S' $ i $ S'' $ rzutów $ M'N' $ i $ M''N'' $ tego odcinka. Rzeczywistą długość odcinka $ MN $ wyznaczymy z jego rzutów budując trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $ M'N' $ i $ N'N_0 = d $; przeciwprostokątna $ M'N_0 $ równa się odcinkowi $ MN $.

Jeśli $ MN =a $, to

\[<br />
M'N' = \sqrt{M'N^2_0 - N'N^2_0} =\sqrt{a^2 - d^2}.<br />
\]

Gdy odcinek $ MN $ ślizga się swymi końcami po prostych $ m $ i $ n $ zachowując stałą długość $ a $, wówczas odcinek $ M'N' $, jak widać z powyższego wzoru, również zachowuje stałą długość $ \sqrt{a^2 - d^2} $.

Wobec tego miejscem geometrycznym środka $ S' $ odcinka $ M'N' $ jest okrąg $ k' $ zatoczony z punktu $ O' $ promieniem $ \frac{1}{2} \sqrt{a^2 - d^2} $.

Gdy punkt $ S' $ zakreśla okrąg $ k' $, punkt $ S'' $ zakreśla odcinek $ k'' $ prostej równo odległej od prostych $ m'' $ i $ n'' $, punkt $ S $ zaś zakreśla okrąg $ k $, którego rzutami są $ k' $ i $ k'' $ . Okrąg ten jest poszukiwanym miejscem geometrycznym; leży on w płaszczyźnie równo odległej od prostych $ m $ i $ n $; środek jego znajduje się w punkcie $ O $, a promień równa się $ \frac{1}{2} \sqrt{a^2 - d^2} $.

Uwaga. Rozważanie przypadku B możemy też przeprowadzić na rysunku wykonanym w rzucie równoległym ukośnym. Za płaszczyznę rzutów obierzemy płaszczyznę określoną przez jedną z danych prostych skośnych $ m $ i $ n $, np. prostą $ m $, i przez odcinek $ PQ $ - najkrótszą odległość prostych $ m $ i $ n $. Rzuty punktów i prostych na tę płaszczyznę oznaczać będziemy dla większej prostoty tymi samymi literami, co owe punkty i proste.

Rysujemy prostą $ m $ i prostopadły do niej odcinek $ PQ $ o długości $ d $ (rys. 42). Za rzut prostej $ n $ możemy obrać dowolną prostą przechodzącą przez punkt $ Q $. Niech $ MN $ będzie dowolnym odcinkiem o długości $ a $, którego końce leżą odpowiednio na prostych $ m $ i $ n $, $ S $ - środkiem tego odcinka, $ O $ - środkiem odcinka $ PQ $.

Poprowadźmy przez punkt $ P $ prostą $ r $ równoległą do prostej $ n $ i weźmy pod uwagę rzut prostokątny odcinka $ MN $ na płaszczyznę $ (m, r) $ prostych $ m $ i $ r $. Ponieważ $ PQ \bot m $ i $ PQ \bot r $, przeto odcinek $ PQ $ jest prostopadły do płaszczyzny $ (m,r) $.

Wobec tego rzut prostokątny $ N' $ punktu $ N $ na tę płaszczyznę otrzymamy prowadząc z punktu $ N $ równoległą do prostej $ PQ $ aż do przecięcia z prostą $ r $. Rzut prostokątny $ S' $ punktu $ S $ znajdujemy podobnie prowadząc z punktu $ S $ równoległą do prostej $ PQ $ aż do przecięcia z prostą $ MN' $; punkt $ S' $ jest środkiem odcinka $ MN' $.

W trójkącie prostokątnym $ MNN' $ mamy $ MN = a $, $ NN' = d $, zatem

\[<br />
MN' = \sqrt{ MN^2 - NN'^2} = \sqrt{a^2 - d^2}.<br />
\]

Gdy odcinek $ MN $ o stałej długości $ a $ ślizga się swymi końcami po prostych $ m $ i $ n $, odcinek $ MN' $ zachowuje stałą długość $ \sqrt{a^2 - d^2} $. Wobec tego miejscem geometrycznym punktu $ S' $ jest okrąg o środku $ P $ i promieniu $ PS' = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 - d^2} $, leżący w płaszczyźnie $ (m, r) $.

Punkt $ S $ otrzymuje się przez przesunięcie równoległe punktu $ S' $ w kierunku prostopadłym do płaszczyzny $ (m, r) $ o długość $ SS' = PO= \frac{1}{2}d $.

Zatem jeżeli proste $ m $ i $ n $ są skośne, to miejscem geometrycznym punktu $ S $ jest okrąg o środku $ O $ i promieniu $ \frac{1}{2} \sqrt{ a^2 - d^2} $, leżący w płaszczyźnie równoległej do obu prostych $ m $ i $ n $.

W rzucie równoległym ukośnym na płaszczyznę $ MPQ $ oba miejsca geometryczne są elipsami. Elipsy te wykreślone zostały na rysunku 43 wykonanym, jak następuje: Elipsę $ E_1 $ wykreśono jako rzut równoległy okręgu $ K $ o promieniu $ PU = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 - d^2} $ obierając za rzuty dwóch prostopadłych promieni $ PU $ i $ PV $ tego okręgu odcinki $ PU $ i $ PW $. Elipsę $ E_2 $ otrzymano przez przesunięcie równoległe elipsy $ E_1 $ o wektor $ PO $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź