II OM - I - Zadanie 9

Rozwiązać układ równań

\[<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
xy = ax + by\\<br />
yz =ay + bz\\<br />
zx = az + bx.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Rozwiązanie

Rozróżnimy przypadki następujące:

$ a = 0 $, $ b = 0 $. Układ równań (1) przybiera wtedy postać

\[<br />
xy = 0,\   yz = 0,\  zx = 0,<br />
\]

z czego widać, że dwie spośród niewiadomych $ x $, $ y $, $ z $ muszą być równe zeru, trzecia zaś może mieć wartość dowolną.

$ a \ne 0 $, $ b = 0 $. Układ równań (1) przybiera wtedy postać

\[<br />
xy = ax,\   yz = ay,\  zx = az.<br />
\]

Napiszmy pierwsze z tych równań w postaci $ x (y - a) =0 $. Widzimy, że zachodzą dwie możliwości:

a) $ x = 0 $. Trzecie równanie daje wówczas $ z = 0 $, a następnie drugie równanie daje $ y = 0 $, a więc ostatecznie $ x = y = z = 0 $

b) $ y = a $. Z drugiego równania wynika wówczas $ z = a $, a następnie z trzeciego równania otrzymujemy $ x = a $, a więc $ x = y = z = a $.

$ a = 0 $, $ b \ne 0 $. Analogicznie do przypadku 2° otrzymujemy dwa rozwiązania:

a) $ x = y = z = 0 $

b) $ x = y = z = b $

$ a \ne 0 $, $ b \ne 0 $. Napiszmy pierwsze równanie układu (1) w postaci

\[<br />
y (x - b) = ax.<br />
\]

Zauważmy, że $ x - b \ne 0 $, gdyby bowiem było $ x - b = 0 $, to z równania powyższego wynikałoby, że $ ax = 0 $, a ponieważ $ a \ne 0 $, więc $ x = 0 $, a wobec tego $ b = 0 $, wbrew założeniu.

Podzielmy obie strony poprzedniego równania przez $ x - b $:

\[<br />
(4) \qquad y = \frac{ax}{x-b}.<br />
\]

Podobnie też z trzeciego równania układu (1) wynika, że $ x - a \ne 0 $. Dzieląc obie strony tego równania przez $ x - a $ otrzymujemy

\[<br />
(5) \qquad  z = \frac{bx}{x-a}.<br />
\]

Podstawiając zamiast $ y $ i $ z $ wartości (4) i (5) do drugiego równania układu (1) otrzymujemy równanie

\[<br />
\frac{abx^2}{(x - a) (x - b)} =<br />
\frac{a^2x}{x - b} +<br />
\frac{b^2x}{x - a}.<br />
\]

Mamy znów dwie możliwości:

a) $ x = 0 $. Wzory (4) i (5) dają wówczas $ y = 0 $, $ z = 0 $, a więc $ x = y = z = 0 $.

b) $ x \ne 0 $. Możemy wtedy obie strony poprzedniego równania podzielić przez $ x $:

\[<br />
\frac{abx}{(x - a) (x - b)} = \frac{a^2}{x-b} + \frac{b^2}{x-a}.<br />
\]

Mnożąc obie strony przez $ (x - a) (x - b) $ i porządkując równanie otrzymujemy

\[<br />
(a^2 - ab + b^2) x = a^3 + b^3.<br />
\]

Podobnie jak w sposobie I, mamy $ x = a + b $ i ze wzorów (4) i (5) otrzymujemy $ y = a + b $, $ z = a+ b $, a więc ostatecznie $ x = y = z = a + b $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź