II OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli $ A + B + C = 180^\circ $, a $ n $ jest liczbą nieparzystą, to

\[<br />
(1) \qquad<br />
\sin nA + \sin nB + \sin nC =<br />
4 \cdot (- 1)^{\frac{n-1}{2}}<br />
\cos \frac{nA}{2} \cos \frac{nB}{2} \cos \frac{nC}{2}.<br />
\]

Rozwiązanie

Na podstawie znanych wzorów trygonometrycznych mamy

\[<br />
(2) \qquad \sin nA + \sin nB + \sin nC =<br />
2 \sin \frac{n(A+B)}{2} \cos \frac{n(A-B)}{2} +2 \sin \frac{nC}{2}\cos \frac{nC}{2}.<br />
\]

Niech $ n = 2k + 1 $, gdzie $ k $ jest liczbą całkowitą. Z równości $ A + B + C = 180^\circ $ wynika, że

\[<br />
nA + nB + nC = k \cdot 360^\circ + 180^\circ,<br />
\]
\[<br />
\frac{n (A + B)}{2} = k \cdot 180^\circ + 90^\circ - \frac{nC}{2}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(3) \qquad \sin \frac{n(A+B)}{2} =<br />
(- 1)^k \sin \left(90^\circ - \frac{nC}{2} \right) =<br />
(- 1)^k \cos \frac{nC}{2}<br />
\]

i podobnie

\[<br />
(4) \qquad \sin \frac{nC}{2} = (- 1)^k \cos \frac{n(A+b)}{2}.<br />
\]

Podstawiając wyrażenia (3) i (4) do prawej strony równości (2) otrzymujemy

\[<br />
\sin nA + \sin nB + \sin nC =<br />
2 \cdot (-1)^k \cos \frac{nC}{2}<br />
\left[ \cos \frac{n (A-B)}{2} + \cos \frac{n (A+B)}{2} \right],<br />
\]

a po przekształceniu wyrażenia w nawiasie mamy

\[<br />
\sin nA + \sin nB + \sin nC = 4 \cdot (- 1)^k<br />
\cos \frac{nA}{2} \cos \frac{nB}{2} \cos \frac{nC}{2},<br />
\]

tj. wzór (1), gdyż $ k = \frac{n-1}{2} $.

W szczególności przy $ n = 1 $ otrzymujemy znany wzór dla kątów trójkąta $ ABC $:

\[<br />
\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź