II OM - II - Zadanie 1

W trójkącie prostokątnym $ ABC $ z wierzchołka kąta prostego $ C $ poprowadzono wysokość $ CD $ i w każdy z trójkątów $ ABC $, $ ACD $ i $ BCD $ wpisano okrąg. Wykazać, że suma promieni tych okręgów równa się wysokości $ CD $.

Rozwiązanie

Przyjmujemy oznaczenia wskazane na rysunku 52 a; promienie kół wpisanych w trójkąty $ ABC $, $ BCD $, $ CAD $ oznaczmy odpowiednio przez $ r $, $ r_1 $, $ r_2 $.

Ponieważ trójkąty prostokątne $ ABC $, $ CBD $, $ ACD $ są podobne, to promienie kół wpisanych w te trójkąty prostokątne są proporcjonalne do ich przeciwprostokątnych:

\[<br />
r_1 \colon r_2 \colon r = a \colon b \colon c.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\frac{r_1 + r_2 + r}{a + b + c} = \frac{r}{c}<br />
\textrm{ i }<br />
r_1 + r_2 + r = \frac{(a + b + c)r}{c}.<br />
\]

Iloczyn obwodu trójkąta przez promień koła wpisanego w trójkąt równa się podwojonemu polu trójkąta, a więc

\[<br />
(a + b + c) r = ch.<br />
\]

Podstawienie do poprzedniego wzoru daje

\[<br />
r_1 + r_2 + r = h,<br />
\]

czego właśnie należało dowieść.

Uwaga. Poprowadźmy prostopadłe $ LL_1 $ i $ KK_1 $ do prostej $ AB $. Ponieważ

\[<br />
L_1D = LP = r_1,<br />
\]

więc aby wyznaczyć środek $ O_1 $ koła wpisanego w trójkąt $ ADC $, odmierzamy na prostej $ L_1L $ odcinek $ L_1O_1 $ równy $ r_1 $.

Biorąc pod uwagę, że $ L_1M = LQ = r_2 $, widzimy, że trójkąt $ MO_1L_1 $ jest przystający do trójkąta $ CLP $, wobec czego $ MO_1 = r $.

Podobnie środek $ O_2 $ koła wpisanego w trójkąt $ BDC $ leży na prostej $ K_1K $, przy czym $ MO_2 = r $.

Trzy środki $ O_1 $, $ O_2 $, $ O $ kół wpisanych w trójkąty $ ADC $, $ BDC $, $ ABC $ leżą więc na okręgu o środku $ M $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź