II OM - II - Zadanie 2

W trójkącie $ ABC $ na bokach $ BC $, $ CA $, $ AB $ obrano odpowiednio punkty $ D $, $ E $, $ F $ w taki sposób, że

\[<br />
BD \colon DC = CE \colon EA = AF \colon FB = k,<br />
\]

gdzie $ k $ jest daną liczbą dodatnią. Mając dane pole $ S $ trójkąta $ ABC $ obliczyć pole trójkąta $ DEF $.

Rozwiązanie

Posługując się symbolem $ \triangle $ na oznaczenie pola trójkąta mamy (rys. 54):

\[<br />
(1) \qquad \triangle DEF = S - (\triangle AFE + \triangle BDF + \triangle CED),<br />
\]

gdzie $ S = \triangle ABC $.

Otóż

\[ \triangle AFE = \frac{1}{2} AF \cdot AE \cdot \sin A, \]
\[ AF = \frac{k}{k+1} \cdot AB, \]
\[ AE = \frac{1}{k+1} \cdot AC, \]

więc

\[<br />
\triangle AFE = \frac{k}{k+1} \cdot \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A,<br />
\]

a ponieważ $ \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = S $, przeto

\[<br />
(2) \qquad \triangle AFE = \frac{k}{(k+1)^2} \cdot S.<br />
\]

Tak samo

\[<br />
(3) \qquad<br />
\triangle BDF = \frac{k}{(k+1)^2} \cdot S,\<br />
\triangle CED = \frac{k}{(k+1)^2} \cdot S.<br />
\]

Zatem według wzoru (1) mamy

\[<br />
(4) \qquad<br />
\triangle DEF = S -  \frac{3k}{(k+1)^2} \cdot S =<br />
\frac{k^2 - k + 1}{(k+1)^2} \cdot S.<br />
\]

Uwaga. Rozumowanie powyższe można by nieco skrócić stosując twierdzenie, że pola trójkątów mających wspólny kąt mają się do siebie jak iloczyny boków zawierających ten kąt. Otrzymujemy od razu:

\[<br />
\frac{\triangle AFE}{S} = \frac{AE \cdot AF}{AC \cdot AB} =<br />
\frac{1}{k+1} \cdot \frac{k}{k+1} = \frac{k}{(k+1)^2},<br />
\]

tj. wzór (2).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź