II OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że równanie

\[<br />
\frac{m^2}{a-x} + \frac{n^2}{b-x} = 1,<br />
\]

gdzie $ m \ne 0 $, $ n \ne 0 $, $ a \ne b $, ma pierwiastki rzeczywiste ($ m $, $ n $, $ a $, $ b $ oznaczają liczby rzeczywiste).

Rozwiązanie

Przepiszmy dane równanie w postaci

\[<br />
(1) \qquad \frac{m^2}{a-x} + \frac{n^2}{b-x} - 1 = 0.<br />
\]

Zakładając, że $ x \ne a $ i $ x \ne b $, pomnóżmy dane równanie przez $ (a - x) (b - x) $; otrzymamy wówczas równanie

\[<br />
(2) \qquad m^2 (b - x) + n^2 (a - x) - (a - x) (b - x) = 0.<br />
\]

Równania (1) i (2) są równoważne, tzn. są spełnione przez te same wartości $ x $. Dla wartości $ x $ różnych od $ a $ i od $ b $ wynika to z faktu, że lewa strona równania (2) jest iloczynem lewej strony równania (2) przez różną od zera liczbę $ (a - x) (b - x) $.

Liczby zaś $ a $ i $ b $ nie spełniają żadnego z tych równań: kiedy bowiem $ x = a $ lub $ x = b $, wówczas lewa strona równania (1) traci sens, a lewa strona równania (2) przybiera wartość $ m^2 (b - a) $ lub wartość $ n^2 (a - b) $, obie różne od zera wobec założenia, że $ m \ne 0 $, $ n \ne 0 $, $ a \ne b $.

Możemy więc w dalszych rozważaniach zastąpić równanie (1) równaniem (2).

Lewa strona równania (2) jest funkcją kwadratową zmiennej $ x $:

\[<br />
\varphi (x) = m^2 (b - x) + n^2 (a - x) - (a - x) (b - x).<br />
\]

Funkcja $ \varphi (x) $ przybiera dla $ x = a $ i $ x=b $ odpowiednio wartości:

\[<br />
\varphi (a) = m^2 (b - a)<br />
\textrm{ i }<br />
\varphi (b) = n^2 (a - b).<br />
\]

Wartości te są przeciwnych znaków; wynika z tego, że funkcja $ \varphi(x) $, a więc i równanie (2) ma jeden pierwiastek rzeczywisty leżący między liczbami $ a $ i $ b $ oraz drugi pierwiastek rzeczywisty leżący zewnątrz tego przedziału.

Uwaga. Czytelnikom, którzy mają wiadomości z geometrii analitycznej, wyjaśnimy związek, jaki zachodzi między powyższym zadaniem a pewnymi własnościami krzywych stopnia drugiego.

W tym celu napiszemy równanie (1) przy użyciu innych liter:

\[<br />
\frac{x^2}{a - \lambda} + \frac{y^2}{b - \lambda} - 1 = 0<br />
\]

Niech $ x $ i $ y $ oznaczają współrzędne prostokątne punktu na płaszczyźnie, $ a $ i $ b $ - dwie liczby nierówne, $ \lambda $ - zmienny parametr.

Rozważmy, jakie krzywe przedstawia równanie (I) przy różnych wartościach parametru $ \lambda $. Przyjmiemy, że $ a > b $ (gdy $ a < b $, rozważania są analogiczne).

1° Jeżeli $ \lambda < b $, to $ a - \lambda> 0 $ i $ b - \lambda > 0 $. Równanie (I) jest wówczas równaniem osiowym elipsy o półosiach $ \sqrt{a - \lambda} $ i $ \sqrt{b - \lambda} $.

2° Jeżeli $ b < \lambda < a $, to $ a - \lambda > 0 $, $ b - \lambda < 0 $. Równanie (I) jest wówczas równaniem osiowym hiperboli o półosi rzeczywistej $ \sqrt{a - \lambda} $ i półosi urojonej $ \sqrt{\lambda - b} $.

3° Jeżeli $ \lambda > a $, równanie (I) nie jest spełnione przez żadne, rzeczywiste wartości $ x $ i $ y $; mówimy wówczas, że równanie to przedstawia krzywą urojoną.

W dalszym ciągu będziemy brali pod uwagę tylko wartości $ \lambda < a $.

Krzywe przedstawione równaniem (I) mają ciekawą własność: wszystkie te krzywe mają te same ogniska. Istotnie, połowa odległości między ogniskami, którą oznaczymy przez $ c $, równa się dla elipsy pierwiastkowi kwadratowemu z różnicy kwadratów półosi, a dla hiperboli - pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów półosi. W przypadku 1° mamy więc

\[<br />
c = \sqrt{(a - \lambda) - (b - \lambda)} = \sqrt{a - b},<br />
\]

a w przypadku 2° mamy też

\[<br />
c = \sqrt{(a - \lambda) + (\lambda - b)} = \sqrt{a - b},<br />
\]

co oznacza, że $ c $ ma wartość stałą, niezależną od $ \lambda $.

Mówimy, że równanie (I) przy zmiennym parametrze $ \lambda $ przedstawia rodzinę stożkowych współogniskowych.

Nadajmy współrzędnym $ x $ i $ y $ określone wartości liczbowe różne od zera i uważajmy równanie (I) za równanie o niewiadomej $ \lambda $. Ponieważ $ a \ne b $, spełnione są założenia zadania nr 30 i wiemy z rozwiązania tego zadania, że równanie (I) ma wtedy dwa różne pierwiastki rzeczywiste $ \lambda_1 $ i $ \lambda_2 $.

Otrzymujemy zatem następujące twierdzenie jako interpretację geometryczną twierdzenia algebraicznego z zadania nr 30:

Przez każdy punkt płaszczyzny nie leżący na osi $ x $ ani na osi $ y $ przechodzą dwie krzywe z rodziny (I) stożkowych współogniskowych.

Nie trudno sig przekonać, że jedna z tych krzywych jest elipsą, a druga hiperbolą.

W samej rzeczy, jeśli równanie (I) zastąpimy równaniem równoważnym

\[<br />
x^2 (b - \lambda) + y^2 (a - \lambda) - (a - \lambda) (b - \lambda) = 0,<br />
\]

to stwierdzimy, że lewa strona, tego równania przybiera dla $ \lambda = a $ wartość ujemną $ x^2 (b - a) $, a dla $ \lambda = b $ wartość dodatnią $ y^2 (a - b) $; zatem jeden z pierwiastków $ \lambda_1 $, $ \lambda_2 $ tego równania jest mniejszy niż $ b $ (pierwiastek ten daje elipsę), drugi zaś pierwiastek zawiera się między $ b $ i $ a $ (i daje hiperbolę).

Rysunek 55 przedstawia kilka krzywych takiej rodziny. Wspólnymi ich ogniskami są punkty $ F_1 $ i $ F_2 $.

Elipsa i hiperbola rodziny (I) przechodzące przez ten sam punkt płaszczyzny przecinają się w tym punkcie pod kątem prostym. Dowód tego twierdzenia nie nastręczy żadnych trudności czytelnikowi, który wie, jak napisać równanie stycznej do krzywej (I) w danym jej punkcie. Mówimy, że rodzina stożkowych współogniskowych jest siecią ortogonalną krzywych (wyraz "ortogonalny" oznacza: prostokątny).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź