II OM - II - Zadanie 5

Wykazać, że jeżeli między bokami i przeciwległymi kątami $ A $ i $ B $ trójkąta $ ABC $ zachodzi związek

\[<br />
(1) \qquad (a^2 + b^2) \sin (A - B) = (a^2 - b^2) \sin (A + B),<br />
\]

to taki trójkąt jest prostokątny lub równoramienny.

Rozwiązanie

Przekształcamy równość (1) podstawiając zamiast $ \sin (A - B) $ i $ \sin (A + B) $ znane ich rozwinięcia i pisząc tę rówrjość w postaci proporcji

\[<br />
\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{\sin A \cos B - \cos A \sin B}{\sin A \cos B + \cos A \sin B},<br />
\]

skąd po łatwym rachunku wynika proporcja

\[<br />
(2) \qquad \frac{a^2}{b^2} = \frac{\sin A \cos B}{\cos A \sin B}.<br />
\]

Zastępujemy teraz stosunek boków stosunkiem sinusów kątów przeciwległych:

\[<br />
\frac{\sin^2 A}{\sin^2 B} = \frac{\sin A \cos B}{\cos A \sin B}.<br />
\]

Stąd otrzymujemy:

\[<br />
\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\cos B}{\cos A},<br />
textrm{ czyli }<br />
\sin A \cos A = \sin B \cos B<br />
\]

i wreszcie

\[<br />
(3) \qquad \sin 2A = \sin 2B.<br />
\]

Ponieważ $ 2A < 360^\circ $ i $ 2B < 360^\circ $, przeto z równości (3) wynika, że kąty $ 2A $ i $ 2B $ bądź są równe, bądź dają w sumie $ 180^\circ $.

1° Jeżeli $ 2A = 2B $, to $ A = B $ i trójkąt $ ABC $ jest równoramienny.

2° Jeżeli $ 2A + 2B = 180^\circ $, to $ A + B = 90^\circ $ i trójkąt $ ABC $ jest prostokątny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź