II OM - II - Zadanie 6

Dane są punkty $ A $ i $ B $ oraz okrąg $ k $. Wykreślić okrąg przechodzący przez punkty $ A $ i $ B $ i wyznaczający w przecięciu z okręgiem $ k $ wspólną cięciwę o danej długości $ d $.

Rozwiązanie

Analiza. Zadanie sprowadza się do wyznaczenia środka $ X $ wspólnej cięciwy okręgu danego i okręgu poszukiwanego; mając bowiem punkt $ X $ możemy wykreślić w danym okręgu $ k $ cięciwę $ CD $ o środku $ X $ i poprowadzić okrąg przez punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $.

Miejscem geometrycznym środków $ X $ cięciw okręgu $ k $ mających daną długość $ d $ jest okrąg $ k' $ współśrodkowy z okręgiem $ k $ i mający promień $ \sqrt{r^2 - \frac{d^2}{4}} $, gdzie $ r $ oznacza promień okręgu $ k $. Należy przy tym zastrzec, że $ d \leq 2r $.

1° Jeżeli dane punkty $ A $ i $ B $ są równo oddalone od środka $ O $ okręgu $ k $ (rys. 57), to okrąg szukany przecina okrąg $ k $ w punktach symetrycznych względem symetralnej odcinka $ AB $, a więc punkt $ X $ znajdziemy w przecięciu tej symetralnej z okręgiem $ k' $.

2° Jeżeli $ A $ i $ B $ nie są równo oddalone od punktu $ O $ (rys. 58), to wszystkie wspólne cięciwy okręgu $ k $ z okręgami przechodzącymi przez punkty $ A $ i $ B $ leżą na prostych, które przecinają prostą $ AB $ w tym samym punkcie $ M $ (patrz zadanie nr 22 na stronicy 105). Punkt $ M $ możemy znaleźć wykreślając przez punkty $ A $ i $ B $ dowolny okrąg pomocniczy $ l $ przecinający okrąg $ k $. Punkt $ X $ znajdziemy w przecięciu okręgu $ k' $ z okręgiem o średnicy $ OM $, który jest miejscem geometrycznym środków wymienionych cięciw.

Konstrukcja. Wykreślamy w znany sposób okrąg $ k' $.

W przypadku 1° kreślimy symetralną odcinka $ AB $. Przez punkt przecięcia $ X $ tej symetralnej z okręgiem $ k' $ prowadzimy cięciwę $ CD $ okręgu $ k $ prostopadłą do prostej $ O $. Wykreślamy wreszcie okrąg przez punkty $ A $, $ B $, $ C $; okrąg ten przejdzie też przez punkt $ D $, jako przez punkt symetryczny do punktu $ C $ względem prostej $ OX $. Wykreślony okrąg ma z okręgiem $ k $ wspólną cięciwę $ CD $ o długości $ d $, jęst więc okręgiem poszukiwanym w zadaniu.

W przypadku 2° prowadzimy przez punkty $ A $ i $ B $ dowolny okrąg $ l $ przecinający okrąg $ k $ w punktach $ P $ i $ Q $. Prosta $ PQ $ przecina prostą $ AB $ w punkcie $ M $. Wykreślamy okrąg o średnicy $ OM $.

Jeśli $ X $ jest punktem przecięcia tego okręgu z okręgiem $ k' $, to prosta $ MX $ przecina koło $ k $ po cięciwie $ CD $ o długości $ d $. Prowadzimy teraz okrąg przez punkty $ A $, $ B $, $ C $; okrąg ten przejdzie też przez punkt $ D $, gdyż $ MA \cdot MB = MP \cdot MQ $, $ MP \cdot MQ = MC \cdot MD $, więc $ MA \cdot MB = MC \cdot MD $. Będzie to okrąg poszukiwany w zadaniu.

Dyskusja. Zbadamy wykonalność konstrrkcji i ilość rozwiązań zadania w zależności od wyboru danych. Zauważyliśmy już, że zadanie można rozwiązać tylko wtedy, gdy dana długość $ d $ spełnia warunek $ d \leq 2r $, gdzie $ r $ jest to promień danego okręgu $ k $.

Zakładając, że nierówność ta jest spełniona, rozważymy wszystkie przypadki, jakie mogą się zdarzyć.

I. Środek $ O $ okręgu $ k $ leży na symetralnej odcinka $ AB $.

\[<br />
(Ia) \qquad  d <2r.<br />
\]

Symetralna odcinka $ AB $ przecina okrąg $ k' $ w dwóch punktach $ X_1 $ i $ X_2 $, istnieją więc dwie cięciwy $ C_1D_1 $ i $ C_2D_2 $ okręgu $ k $ mające długość $ d $ i kierunek prostej $ AB $.

Jeśli prosta $ AB $ nie pokrywa się z żadną z prostych $ C_1D_1 $ i $ C_2D_2 $, tzn. jeśli odległość prostej $ AB $ od punktu $ O $ nie równa się $ \sqrt{r^2 - \frac{d^2}{4}} $, zadanie ma dwa rozwiązania.

Jeśli prosta $ AB $ pokrywa się np. z prostą $ C_1D_1 $, ale punkty $ A $ i $ B $ nie leżą na okręgu $ k $, tzn. nie pokrywają się z punktami $ C_1 $ i $ D_1 $, zadanie ma jedno rozwiązanie, mianowicie okrąg przechodzący przez punkty $ A $, $ B $, $ C_2 $, $ D_2 $.

Jeśli wreszcie punkty $ A $ i $ B $ pokrywają się z punktami $ C_1 $ i $ D_1 $, rozwiązaniem zadania jest każdy okrąg przechodzący przez, punkty $ A $ i $ B $, z wyjątkiem samego okręgu $ k $.

\[<br />
(Ib) \qquad d = 2r.<br />
\]

W tym przypadku okrąg $ k' $ redukuje się do punktu $ O $, punkt $ X $ pokrywa się również z punktem $ O $, w okręgu $ k $ istnieje jedna cięciwa $ CD $ o długości $ d $ i kierunku prostej $ AB $.

Jeśli prosta $ AB $ nie przechodzi przez punkt $ D $, zadanie ma jedno rozwiązanie.

Jeśli prosta $ AB $ przechodzi przez punkt $ O $, ale punkty $ A $ i $ B $ nie leżą na okręgu $ k $, zadanie nie ma rozwiązania.

Jeśli wreszcie odcinek $ AB $ jest średnicą okręgu $ k $, rozwiązaniem zadania jest każdy okrąg przechodzący przez punkty $ A $ i $ B $, z wyjątkiem okręgu $ k $.

II. Środek okręgu $ k $ nie leży na symetralnej odcinka $ AB $.

\[<br />
(IIa) \qquad  d < 2r.<br />
\]

Jeśli prosta $ AB $ leży zewnątrz okręgu $ k' $, tzn. jeśli jej odległość od punktu $ O $ jest większa od $ \sqrt{r^2 - \frac{d^2}{4}} $, to punkt $ M $ leży również zewnątrz okręgu $ k' $. Okrąg o średnicy $ OM $ przecina okrąg $ k' $ w dwóch punktach $ X_1 $ i $ X_2 $. Proste $ MX_1 $ i $ MX_2 $ wyznaczają w okręgu $ k $ cięciwy $ C_1D_1 $ i $ C_2D_2 $ o długości $ d $. Zadanie ma dwa rozwiązania: okrąg przechodzący przez punkty $ A $, $ B $, $ C_1 $, $ D_1 $ i okrąg przechodzący przez punkty $ A $, $ B $, $ C_2 $, $ D_2 $.

Jeśli prosta $ AB $ jest styczna do okręgu $ k' $ w punkcie $ T $, a punkt $ M $ jest różny od punktu $ T $, to okrąg o średnicy $ OM $ przecina okrąg $ k' $ w dwóch punktach $ T $ i $ X $. W tym przypadku jest tylko jedno rozwiązanie: okrąg przechodzący przez punkty $ A $, $ B $ oraz przez punkty $ C $, $ D $, w których prosta $ MX $ przecina okrąg $ k $.

Jeśli prosta $ AB $ jest styczna do okręgu $ k' $, a punkt $ M $ pokrywa się z punktem styczności $ T $, to rozwiązania nie ma. Przypadek ten zachodzi, gdy punkt $ T $ leży wewnątrz odcinka $ AB $, a średnia geometryczna odcinków $ AT $ i $ BT $ równa się $ \frac{1}{2} d $.

Jeśli wreszcie prosta $ AB $ przecina okrąg $ k' $, zadanie ma dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie lub nie ma żadnego rozwiązania, zależnie od tego, czy punkt $ M $ leży zewnątrz okręgu $ k' $, na tym okręgu lub wewnątrz okręgu $ k' $.

\[<br />
(IIb) \qquad d = 2r.<br />
\]

W tym przypadku punkt $ X $ pokrywa się z punktem $ O $.

Jeśli prosta $ AB $ nie przechodzi przez punkt $ O $, to prosta $ MO $ przecina okrąg $ k $ w dwóch punktach $ C $ i $ D $. Zadanie ma wtedy jedno rozwiązanie: okrąg przechodzący przez punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $.

Jeśli prosta $ AB $ przechodzi przez punkt $ O $, a punkt $ M $ jest różny od punktu $ O $, to prosta $ MO $ przecina okrąg $ k $ w punktach $ C $ i $ D $ prostej $ AB $ i zadanie nie ma rozwiązania.

Jeśli wreszcie punkt $ M $ prostej $ AB $ pokrywa się z punktem $ O $, rozwiązaniem zadania jest każdy okrąg przechodzący przez punkty $ A $ i $ B $. Przypadek ten zachodzi wówczas, gdy punkt $ O $ leży wewnątrz odcinka $ AB $, a promień $ r $ okręgu $ k $ jest średnią geometryczną odcinków $ OA $ i $ OB $.

Uwaga. W powyższym zadaniu liczba $ d $, jako długość odcinka, jest liczbą dodatnią. Możemy jednak rozważać przypadek ,,graniczny'' tego zadania biorąc $ d = 0 $, co daje zadanie:

Przez dwa dane punkty $ A $ i $ B $ poprowadzić okrąg styczny do danego okręgu $ k $.

Sposób rozwiązania pozostaje ten sam - z tą różnicą, że okrąg $ k' $ jest w tym przypadku identyczny z okręgiem $ k $.

Dyskusję łatwo wysnuć z dyskusji przeprowadzonej wyżej dla przypadku $ d < 2r $.

Zadanie to omawialiśmy przy zadaniu nr 22 na stronicy 112.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź