II OM - III - Zadanie 4

Wyznaczyć współczynniki równania

\[<br />
(1) \qquad x^3 - ax^2 + bx - c = 0<br />
\]

w taki sposób, żeby pierwiastkami tego równania były liczby $ a $, $ b $, $ c $.

Rozwiązanie

Wiemy z algebry, że liczby $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $ są wtedy i tylko wtedy pierwiastkami równania $ x^3 + mx^2 + nx + p = 0 $, gdy spełnione są warunki:

\[<br />
(2) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
x_1 + x_2 + x_3 = - m\\<br />
x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1= n\\<br />
x_1x_2x_3 = -p.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Liczby $ a $, $ b $, $ c $ są więc pierwiastkami równania (1) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają równania

\[<br />
(3) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
a + b + c = a\\<br />
ab + bc + ca = b\\<br />
abc = c.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Pierwsze z tych równań daje $ b + c = 0 $, co pozwala zredukować lewą stronę drugiego równania do wyrazu $ bc $ i zastąpić układ równań (3) równoważnym mu układem

\[<br />
(4) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
b + c = 0\\<br />
b(c - 1) = 0\\<br />
c (ab - 1 ) = 0.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Według drugiego z tych równań powinno być $ b = 0 $, lub $ c - 1 = 0 $; układ równań (4) możemy więc zastąpić alternatywą dwóch układów:

\[<br />
(4a )\qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
b + c = 0\\<br />
b = 0\\<br />
c (ab - 1 ) = 0<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\textrm{ lub }<br />
(4b) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
b + c = 0\\<br />
c - 1 = 0\\<br />
c (ab - 1 ) = 0.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

A. Układ równań (4 a) ma rozwiązanie

\[<br />
b=0,\   c = 0,\   a \textrm{- dowolne}.<br />
\]

Rozwiązaniu temu odpowiada równanie $ x^3 - ax^2 = 0 $ o pierwiastkach $ a $, $ 0 $, $ 0 $.

B. Układ równań (4 b) ma rozwiązanie

\[<br />
a = - 1,\   b = - 1,\   c = 1.<br />
\]

Rozwiązaniu temu odpowiada równanie $ x^3 + x^2 - x - 1 = 0 $ o pierwiastkach $ - 1 $, $ - 1 $, $ 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź