II OM - III - Zadanie 5

W okrąg wpisano czworokąt $ ABCD $. Proste $ AB $ i $ CD $ przecinają się w punkcie $ E $, a proste $ AD $ i $ BC $ - w punkcie $ F $. Dwusieczna kąta $ AEC $ przecina bok $ BC $ w punkcie $ M $ i bok $ AD $ w punkcie $ N $; a dwusieczna kąta $ BFD $ przecina bok $ AB $ w punkcie $ P $ i bok $ CD $ w punkcie $ Q $. Dowieść, że czworokąt $ MPNQ $ jest rombem.

Rozwiązanie

Pomijając na razie warunek, że punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą na okręgu, weźmy pod uwagę dowolny czworokąt wypukły $ ABCD $, w którym przedłużenia boków $ AB $ i $ CD $ przecinają się w punkcie $ E $, a przedłużenia boków $ AD $ i $ BC $ - w punkcie $ F $.

Poprowadźmy dwusieczne $ EO $ i $ FO $ kątów $ E $ i $ F $ oraz odcinek $ EF $ w taki sposób, jak wskazuje rysunek 66, i rozważmy trójkąty $ EAF $, $ ECF $, $ EOF $ o wspólnej podstawie $ EF $.

Każdy z kątów przy podstawie $ EF $ w trójkącie $ EOF $ jest średnią arytmetyczną kątów trójkątów $ EAF $ i $ ECF $ przy tym samym wierzchołku; wynika z tego, że trzeci kąt $ x $ trójkąta $ EOF $ jest również średnią arytmetyczną pozostałych kątów $ \alpha $ i $ \gamma $ trójkątów $ EAF $ i $ ECF $:

\[<br />
x = \frac{\alpha + \gamma}{2}.<br />
\]

Do tego samego wniosku dojść można również w sposób następujący:

Z dowolnego punktu $ M $ (rys. 67) poprowadźmy półproste $ a_1 $, $ b_1 $, $ c_1 $, $ d_1 $, $ e_1 $, $ f_1 $ mające odpowiednio kierunki półprostych $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $ według oznaczeń rysunku 66.

Ponieważ $ e_1 $ jest dwusieczną kąta między $ a_1 $ i $ c_1 $, a $ f_1 $ - dwusieczną kąta między $ d_1 $ i $ b_1 $, przeto kąt między półprostymi $ e_1 $ i $ f_1 $ jest średnią arytmetyczną kąta między półprostymi $ a_1 $ i $ d_1 $ i kąta między półprostymi $ c_1 $ i $ b_1 $, co zapiszemy:

\[<br />
\measuredangle (e_1, f_1) = \frac{1}{2} [\measuredangle (a_1,d_1) + \measuredangle (c_1, b_1)].<br />
\]

Lecz $  \measuredangle (e_1, f_1) = \measuredangle (e, f) $, $ \measuredangle (a_1, d_1) = \measuredangle (a, d) $, $ \measuredangle (c_1, b_1) = \measuredangle (c, b) $, zatem

\[<br />
\measuredangle (e,f) = \frac{1}{2} [\measuredangle (a,d) + \measuredangle (c,b) ].<br />
\]

Otrzymaliśmy, jak łatwo sprawdzić, tę samą równość, co poprzednio.

Załóżmy teraz, że czworokąt $ ABCD $ jest wpisany w koło (rys. 68).

W takim razie $ \alpha + \gamma = 180^\circ $ i poprzednia równość daje

\[<br />
x = \frac{1}{2} (\alpha + \gamma) = 90^\circ.<br />
\]

To oznacza, że przekątne czworokąta $ MPNQ $ są prostopadłe.

Zauważmy, że wobec tego w trójkącie $ PEQ $ dwusieczna $ EO $ kąta $ E $ jest prostopadła do boku $ PQ $, trójkąt $ PEQ $ jest więc równoramienny, a punkt $ O $ jest środkiem odcinka $ PQ $. Analogicznie punkt $ O $ jest środkiem odcinka $ MN $.

Czworokąt $ MPNQ $, którego przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe, jest zatem rombem, czego właśnie należało dowieść.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź