II OM - III - Zadanie 6

Dany jest okrąg oraz odcinek $ MN $. Znaleźć na okręgu taki punkt $ C $, żeby trójkąt $ ABC $, gdzie $ A $ i $ B $ są punktami przecięcia prostych $ MC $ i $ NC $ z okręgiem, był podobny do trójkąta $ MNC $.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli punkty $ M $ i $ N $ leżą na danym okręgu $ k $, to każdy punkt $ C $ okręgu, z wyjątkiem punktów $ M $ i $ N $, czyni zadość warunkowi zadania; punkty $ A $ i $ B $ pokrywają się wówczas z punktami $ M $ i $ N $, a trójkąt $ ABC $ - z trójkątem $ MNC $. W dalszym ciągu przypadek ten pominiemy i założymy, że przynajmniej jeden z punktów $ M $ i $ N $ nie leży na okręgu $ k $.

Jeśli $ C $ jest punktem żądanym, to dla trójkątów podobnych $ ABC $ i $ MNC $, mających równe kąty przy wierzchołku $ C $, musi zachodzić któryś z przypadków:

I.

\[<br />
\measuredangle A = \measuredangle M,\<br />
\measuredangle B = \measuredangle N.<br />
\textrm{ (rozwiązanie pierwszego rodzaju)}<br />
\]

\kom II.

\[<br />
\measuredangle A = \measuredangle N,\<br />
\measuredangle B = \measuredangle M<br />
\textrm{ (rozwiązanie drugiegp rodzaju)}.<br />
\]

Gdy trójkąty są równoramienne, oba przypadki zachodzą jednocześnie.

I. Poszukiwanie rozwiązań pierwszego rodzaju

W rozwiązaniach pierwszego rodzaju boki $ AB $ i $ MN $ trójkątów $ ABC $ i $ MNC $ są równoległe, z czego wynika, że bądź oba punkty $ M $ i $ N $ leżą na odcinkach $ AC $ i $ BC $, bądź oba leżą na przedłużeniach tych odcinków. Zadanie nasze może mieć zatem rozwiązanie pierwszego rodzaju tylko wtedy, gdy punkty $ M $ i $ N $ leżą oba wewnątrz lub oba zewnątrz danego okręgu $ k $.

Podamy dwa sposoby znalezienia takich rozwiązań.

\spos{I} Jeśli punkt $ C $ jest punktem o żądanej własności (rys. 69), to trójkąty $ ABC $ i $ MNC $ są jednokładne względem punktu $ C $. W tej jednokładności okręgowi $ k $, przechodzącemu przez środek jednokładności $ C $ i przez punkty $ A $ i $ B $, odpowiada okrąg $ l $ styczny do okręgu $ k $ w punkcie $ C $ i przechodzący przez punkty $ M $ i $ N $ jednokładne do punktów $ A $ i $ B $.

Zadanie sprowadza się więc do wykreślenia okręgu przechodzącego przez dane punkty $ M $ i $ N $ i stycznego do danego okręgu $ k $.

Konstrukcja takiego okręgu była już omówiona przy zadaniu nr 22 na stronicy 112 i przy zadaniu nr 33 na stronicy 152.

Gdy wykreślimy okrąg $ l $, wówczas punkt $ C $, w którym styka się on z okręgiem $ k $, będzie punktem żądanym. Istotnie, proste $ MC $ i $ NC $ przecinają okrąg $ k $ jednokładny do okręgu $ l $ względem punktu $ C $ - w punktach $ A $ i $ B $ odpowiadających punktom $ M $ i $ N $. Trójkąty $ ABC $ i $ MNC $ są jednokładne, przy czym $ \measuredangle A = \measuredangle M $, a $ \measuredangle B = \measuredangle N $.

Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest okręgów przechodzących przez punkty $ M $ i $ N $ i stycznych do okręgu $ k $. A zatem (patrz uwagę 2 do zadania nr 22 na stronicy 108):

1° Jeżeli punkty $ M $ i $ N $ leżą oba wewnątrz okręgu $ k $ albo jeżeli oba leżą zewnątrz okręgu $ k $, ale prosta $ MN $ nie jest styczna do tego okręgu, to zadanie ma dwa rozwiązania.

2° Jeżeli punkty $ M $ i $ N $ leżą zewnątrz okręgu $ k $, a prosta $ MN $ jest styczna do tego okręgu, to zadanie ma jedno rozwiązanie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź