- LX OM
- LIX OM
- LVIII OM
- LVII OM
- LVI OM
- LV OM
- LIV OM
- LIII OM
- LII OM
- LI OM
- L OM
- XLIX OM
- XLVIII OM
- XLVIII OM - I etap
- XLVIII OM - I - Zadanie 1
- XLVIII OM - I - Zadanie 2
- XLVIII OM - I - Zadanie 3
- XLVIII OM - I - Zadanie 4
- XLVIII OM - I - Zadanie 5
- XLVIII OM - I - Zadanie 6
- XLVIII OM - I - Zadanie 7
- XLVIII OM - I - Zadanie 8
- XLVIII OM - I - Zadanie 9
- XLVIII OM - I - Zadanie 10
- XLVIII OM - I - Zadanie 11
- XLVIII OM - I - Zadanie 12
- XLVIII OM - II etap
- XLVIII OM - III etap
- XLVIII OM - I etap
- XLVII OM
- XLVI OM
- XLV OM
- XLIV OM
- XLIII OM
- XLII OM
- XLI OM
- XL OM
- XXXIX OM
- XXXVIII OM
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVIII OM - I - Zadanie 1
- XXXVIII OM - I - Zadanie 2
- XXXVIII OM - I - Zadanie 3
- XXXVIII OM - I - Zadanie 4
- XXXVIII OM - I - Zadanie 5
- XXXVIII OM - I - Zadanie 6
- XXXVIII OM - I - Zadanie 7
- XXXVIII OM - I - Zadanie 8
- XXXVIII OM - I - Zadanie 9
- XXXVIII OM - I - Zadanie 10
- XXXVIII OM - I - Zadanie 11
- XXXVIII OM - I - Zadanie 12
- XXXVIII OM - II etap
- XXXVIII OM - III etap
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVII OM
- XXXVII OM - I etap
- XXXVII OM - I - Zadanie 1
- XXXVII OM - I - Zadanie 2
- XXXVII OM - I - Zadanie 3
- XXXVII OM - I - Zadanie 4
- XXXVII OM - I - Zadanie 5
- XXXVII OM - I - Zadanie 6
- XXXVII OM - I - Zadanie 7
- XXXVII OM - I - Zadanie 8
- XXXVII OM - I - Zadanie 9
- XXXVII OM - I - Zadanie 10
- XXXVII OM - I - Zadanie 11
- XXXVII OM - I - Zadanie 12
- XXXVII OM - II etap
- XXXVII OM - III etap
- XXXVII OM - I etap
- XXXVI OM
- XXXV OM
- XXXIV OM
- XXXIII OM
- XXXIII OM - I etap
- XXXIII OM - I - Zadanie 1
- XXXIII OM - I - Zadanie 2
- XXXIII OM - I - Zadanie 3
- XXXIII OM - I - Zadanie 4
- XXXIII OM - I - Zadanie 5
- XXXIII OM - I - Zadanie 6
- XXXIII OM - I - Zadanie 7
- XXXIII OM - I - Zadanie 8
- XXXIII OM - I - Zadanie 9
- XXXIII OM - I - Zadanie 10
- XXXIII OM - I - Zadanie 11
- XXXIII OM - I - Zadanie 12
- XXXIII OM - II etap
- XXXIII OM - III etap
- XXXIII OM - I etap
- XXXII OM
- XXXI OM
- XXX OM
- XXIX OM
- XXVIII OM
- XXVII OM
- XXVI OM
- XXV OM
- XXIV OM
- XXIII OM
- XXII OM
- XXI OM
- XX OM
- XIX OM
- XVIII OM
- XVII OM
- XVI OM
- XV OM
- XIV OM
- XIII OM
- XII OM
- XI OM
- X OM
- IX OM
- VIII OM
- VII OM
- V OM
- VI OM
- IV OM
- III OM
- II OM
- I OM
- Skład komitetów Olimpiady
- Zawody stopnia I (przygotowawcze)
- Zadania z pierwszej olimpiady matematycznej
- I OM - B
- I OM - B - Zadanie 1
- I OM - B - Zadanie 2
- I OM - B - Zadanie 3
- I OM - B - Zadanie 4
- I OM - B - Zadanie 5
- I OM - B - Zadanie 6
- I OM - B - Zadanie 7
- I OM - B - Zadanie 8
- I OM - B - Zadanie 9
- I OM - B - Zadanie 10
- I OM - B - Zadanie 11
- I OM - B - Zadanie 12
- I OM - B - Zadanie 13
- I OM - B - Zadanie 14
- I OM - B - Zadanie 15
- I OM - B - Zadanie 16
- I OM - B - Zadanie 17
- I OM - B - Zadanie 18
- I OM - B - Zadanie 19
- I OM - B - Zadanie 20
- I OM - I etap
- I OM - II etap
- I OM - III etap
- I OM - B
LX OM - I - Zadanie 11
Udowodnić, że dla dowolnych liczb całkowitych
spełniona jest nierówność
![]() |
Rozwiązanie
Daną do udowodnienia nierówność możemy przepisać w postaci
![]() |
Zatem teza zadania sprowadza się do wykazania, że ciąg dany wzorem
![]() |
jest ściśle malejący. Innymi słowy, wystarczy dowieść nierówności
![]() |
Dalsze rozumowanie przeprowadzimy dwoma sposobami.
Sposób I
Ustalmy liczbę i zastosujmy nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną
a średnią geometryczną do następujących liczb:
![]() |
Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa
![]() |
natomiast średnia geometryczna wynosi
![]() |
Na podstawie nierówności pomiędzy średnimi uzyskujemy stąd zależności
![]() |
Mnożąc stronami wszystkie nierówności (3) dochodzimy do wniosku, że
![]() |
Wyciągając teraz pierwiastek stopnia otrzymujemy
![]() |
i widzimy, że aby z udowodnionej właśnie nierówności (4) wywnioskować zależność (1), wystarczy sprawdzić, że
![]() |
Podnosząc stronami zależność (5) do potęgi i wykonując przekształcenia otrzymujemy
następujące jej postaci równoważne:
![]() |
Ostatnia nierówność jest spełniona, gdyż jej prawa strona jest iloczynem liczb
mniejszych od , zaś lewa strona jest iloczynem
liczb równych
.
W efekcie uzyskujemy kolejno nierówności (5) i (1), co daje tezę zadania.
Sposób II
Podnosząc stronami dowodzoną nierówność (1) do potęgi uzyskujemy
równoważną nierówność
![]() |
Lewa strona zależności (6) jest równa
![]() |
a więc nierówność (6) możemy przepisać w postaci
![]() |
lub równoważnie
![]() |
Wystarczy zatem dowieść nierówności (7) dla . W tym celu
zastosujemy indukcję. Dla zależność (7) przybiera postać
i jest prawdziwa. Aby wykonać krok indukcyjny, należy z nierówności (7) wywnioskować nierówność
![]() |
a do tego dostateczne będzie sprawdzenie, że dla spełniona jest nierówność
![]() |
gdyż wówczas mnożąc stronami zależności (7) i (9) uzyskamy nierówność (8).
Pozostaje więc wykazać prawdziwość zależności (9). W tym celu przekształcamy ją równoważnie w następujący sposób:
![]() |
Stosując teraz nierówność Bernoulliego (zob. LII Olimpiada Matematyczna, Sprawozdanie Komitetu Głównego, Warszawa 2002, Dodatek A, str. 99) uzyskujemy
![]() |
Aby zatem zakończyć dowód poprzedniej nierówności, wystarczy już tylko sprawdzić, że
![]() |
lecz to sprowadza się do prawdziwej zależności
![]() |
Stąd kolejno wynikają nierówności (9), (7), (6) i (1), co kończy rozwiązanie.
Komentarze
Dodaj nową odpowiedź