I OM - B - Zadanie 13

Dowieść, że jeżeli prawdziwa jest równość

\[<br />
(a^2+ b^2+ c^2) \cdots (x^2+ y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2,<br />
\]

to liczby $ x, y, z $ są proporcjonalne do liczb $ a, b, c $.

Rozwiązanie

Gdy w danej równości wykonamy po obu stronach mnożenie, a następnie przeprowadzimy redukcję wyrazów podobnych, to otrzymamy równość

\[<br />
\begin{split}<br />
a^2y^2 &+ a^2z^2+ b^2x^2 + b^2z^2+ c^2x^2+ c^2y^2 \\<br />
&= 2abxy + 2bcyz + 2cazx<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
(a^2y^2 &- 2abxy + b^2x^2) + b^2z^2 - 2bcyz + c^2y^2) + \\<br />
&+ (c^2x^2- 2cazx + a^2z^2) = 0,<br />
\end{split}<br />
\]

czyli

\[<br />
(ay - bx)^2 + (bz - cy)^2 + (cx - az)^2 = 0<br />
\]

Suma kwadratów liczb rzeczywistych tylko wtedy równa się
zeru, gdy każda z tych liczb jest równa zeru, zatem

\[<br />
ay - bx = 0,\; bz - cy = 0,\; cx - az = O.<br />
\]

Stąd

\[<br />
x : y = a : b,\; y : z = b : c,\; z : x = c : a,<br />
\]

czyli

\[<br />
x : y : z = a : b : c,<br />
\]

co było do okazania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź