I OM - B - Zadanie 14

Dowieść, że suma liczb naturalnych wtedy i tylko wtedy jest podzielna przez 9, gdy suma wszystkich cyfr tych liczb jest podzielna przez 9.

Rozwiązanie

Dowiedziemy najpierw, że różnica między liczbą naturalną $ a $ i sumą $ s $ jej cyfr jest podzielna przez 9. Niech $ C_O, C_1, C_2, C_3, \dots $ oznaczają kolejno cyfry jedności, dziesiątek, setek, tysięcy i dalszych rzędów tej liczby. Wtedy

\[<br />
\begin{split}<br />
a &= C_0 + C_1 \cdot 10 + C_2 \cdot 100 + C_3 \cdot 1000 + \dots \\<br />
s &= C_0 + C_1 + C_2 + C_3 + \dots<br />
\end{split}<br />
\]

Odejmując te równości stronami otrzymujemy

\[<br />
a - s = C_1 \cdot 9 + C_2 \cdot 99 + C_3 \cdot 999 + \dots<br />
\]

Ponieważ każdy składnik po prawej stronie jest podzielny przez 9, przeto i liczba $ a - s $ jest podzielna przez 9.

Niech następnie $ a_l, a_2, \dots, a_n $ oznaczają liczby naturalne, a $ s_1, s_2, \dots, s_n $ - odpowiednio sumy cyfr tych liczb.

W tożsamości

\[<br />
\begin{split}<br />
a_l + a_2 + \dots + a_n &= [(a_l - s_1) + (a_2 - s_2) + \dots + (a_n - s_n) \\<br />
&+ (s_1 + s_2 + \dots + s_n)<br />
\end{split}<br />
\]

składnik prawej strony znajdujący się w nawiasie łamanym jest podzielny przez 9, gdyż jest sumą liczb podzielnych przez 9. Wobec tego liczba $ a_l + a_2 + \dots + a_n $ jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy składnik $ s_1 + s_2 + \dots + s_n $ tj. suma wszystkich cyfr liczb $ a_l, a_2, \dots, a_n $ jest podzielna przez 9, a tego należało dowieść.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź