I OM - B - Zadanie 15

Dane są dwa przecinające się okręgi o promieniach $ r $ i $ R $. Przez jeden z punktów przecięcia tych okręgów poprowadzić taką
prostą, żeby ta prosta przecięła okręgi jeszcze w dwóch punktach $ p $ i $ Q $ i żebv odcinek $ PQ $ miał daną długość $ d $.

om1_Br_img_8.jpg

Rozwiązanie

Przez punkt przecięcia $ A $ danych okręgów ośrodkach $ O $ i $ S $ prowadzimy prostą przecinającą te okręgi jeszcze w punktach $ P $ i $ Q $.

om1_Br_img_9.jpg

Punkty $ P $ i $ Q $ leżą bądź po przeciwnych stronach punktu $ A $ (rys. 8), bądź po tej samej stronie punktu $ A $ (rys. 9).

W pierwszym przypadku $ PQ = AP + AQ $; w drugim przypadku sieczna $ PQ $ może mieć takie położenie, że punkt $ Q $ leży między punktami $ A $ i $ P $ (jak na rysunku 9), i wtedy $ PQ = AP - AQ $, albo też takie położenie, że punkt $ P $ leży między punktami $ A $ i $ Q $, i wtedy $ PQ = AQ - AP $. Aby uwzględnić w jednym wzorze oba przypadki, używamy znaku bezwzględnej wartości:

\[<br />
PQ =|AP-AQ|<br />
\]

Opuśćmy z punktów $ O $ i $ S $ prostopadłe $ OM $ i $ SN $ na prostą $ PQ $ i zauważmy, że

\[<br />
AM = \frac{1}{2}AP,\; AN = \frac{1}{2}AQ.<br />
\]

Dlugość odcinka $ MN $ równa się połowie długości odcinka $ PQ $. Istotnie w pierwszym przypadku mamy

\[<br />
MN = AM + AN = \frac{1}{2}AP + \frac{1}{2}AQ = \frac{1}{2}(AP + AQ) = \frac{1}{2}PQ,<br />
\]

a w drugim przypadku mamy

\[<br />
MN = |AM -AN| = |\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}AQ| = \frac{1}{2} |AP-AQ| = \frac{1}{2}PQ.<br />
\]

Poprowadźmy przez punkt $ O $ prostą równoległą do prostej $ PQ $; przetnie ona prostą $ NS $ w punkcie $ L $. W trójkącie prostokątnym $ OLS $ przeciwprostokątna $ OS $ jest odległością środków danych okręgów, a przyprostokątna $ OL = MN = \frac{1}{2} PQ $.

Gdy dana jest długość $ PQ = d $, to trójkąt $ OLS $ potrafimy zbudować, a tym samym potrafimy wykreślić prostą $ PQ $, jako równoległą do prostej $ OL $ poprowadzoną przez punkt A.

Konstrukcja przedstawiona jest na rysunku 10.

om1_Br_img_10.jpg

Kreślimy okrąg o średnicy $ OS $. Z punktu $ U $ jako ze środka zakreślamy okrąg promieniem $ \frac{1}{2}d $. Jeśli te dwa okręgi mają punkt wspólny $ L $, to prosta równoległa do prostej $ OL $ poprowadzona przez punkt $ A $ jest prostą szukaną, gdyż $ PQ = 2\cdot OL = d $, co stwierdzamy przeprowadzając poprzednie wnioskowanie w porządku odwrotnym.

Warunkiem istnienia punktu $ L $ jest nierówność

\[<br />
\frac{1}{2} d < OS,\text{ czyli }d \leq 2 \cdot OS<br />
\]

Gdy $ d < 2 \cdot OS $, zadanie ma dwa rozwiązania, obie sieczne są symetryczne względem prostej przechodzącej przez punkty przecięcia danych okręgów.

Gdy $ d = 2 \cdot OS $, rozwiązanie jest jedno, mianowicie prosta równoległa do prostej $ OS $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź