I OM - B - Zadanie 16

Złożyć prostokąt z dziewięciu kwadratów o bokach 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 i 18.

Rozwiązanie

Z danych kwadratów można złożyć prostokąt jednym tylko sposobem. Wykażemy to przeprowadzając następujące rozumowanie: Przede wszystkim jest jasne, że kwadraty wypełniające prostokąt muszą mieć boki równoległe do boków prostokąta. Pole prostokąta, musi się równać sumie pól wszystkich kwadratów, a więc pole poszukiwanego prostokąta wynosi

\[<br />
1^2 + 4^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2 + 14^2 + 15^2 + 18^2 = 1056 = 2^5 \cdot 3 \cdot 11<br />
\]

Liczba $ 1056 = 2^5 \cdot 3 \cdot 11 $ jest to iloczyn długości dwóch przyległych boków prostokąta. Aby znaleźć te długości, należy rozłożyć 1056 na dwa czynniki, z których każdy jest nie mniejszy od 18, tj. od długości boku największego kwadratu. Istnieją trzy takie rozkłady:

\[<br />
1056 = 22 \cdot 48 = 24 \cdot 44 = 32 \cdot 33<br />
\]

Rozkłady $ 22\cdot 48 $ i $ 24\cdot 44 $ należy odrzucić. Jeśli bowiem w prostokącie o szerokości 22 lub 24 umieścimy kwadrat o boku 18, to pozostała nad nim lub pod nim część prostokąta będzie pasem o długości 18 i szerokości nie większej niż 6, a takiego pasa nie da się wypełnić danymi kwadratami, gdyż można w nim umieścić najwyżej kwadraty o bokach 1 i 4, a suma 1 + 4 = 5 jest mniejsza od 18.

Szukany więc prostokąt, jeżeli istnieje, ma boki 32 i 33. Pokażemy, że istotnie prostokąt ABCD o bokach $ AB=32 $ i $ AD=33 $ (rys. 11) można złożyć z danych dziewięciu kwadratów jednym jedynym sposobem.

om1_Br_img_11.jpg

Kwadrat o boku 18 musi się znajdovvać w narożniku prostokąta. W przeciwnym razie nad tym kwadratem i pod nim pozostałyby pasy o długości 18 i łącznej szerokości 14. Jeden z tych pasów miałby więc szerokość nie większą niż 7, takiego zaś pasa nie można wypełnić danymi kwadratami, gdyż zmieszczą się w nim co najwyżej kwadraty o bokach 1,4, 7, przy czym suma 1 + 4 + 7 =12 jest mniejsza od 18.

Rysujemy zatem kwadrat $ AMNP $ o boku $ AM=18 $.

Z kolei rozstrzygniemy, jakie kwadraty ułożyć należy przy odcinku $ MB=14 $. Liczba 14 musi być albo długością boku
jednego kwadratu, albo sumą długości boków kilku kwadratów; jeśli chodzi o ten drugi przypadek; istnieją tylko dwie możliwości:

\[<br />
14 = 9 + 4 + 1 \text{ albo } 14 = 10 + 4.<br />
\]

om1_Br_img_12.jpg

Obie te możliwości odpadają. Jeśli bowiem przy odcinku $ MB $ umieścimy kwadrat o boku 9 lub 10, to pozostanie pas długości 9 lub 10 i szerokości nie większej niż 5, którego znowu wypełnić pozostałyml danymi kwadratami nie można. Zatem przy boku $ MB $ należy umieścić kwadrat $ MBKL $ o boku 14.

Zwróćmy teraz uwagę na punkt $ N $. Z punktu tego musi wychodzić do wnętrza figury $ PNLKCD $ jakaś linia podziału prostokąta na kwadraty bądź jako przedłużenie odcinka $ MN $ bądź jako przedłużenie odcinka $ PN $. Pierwsza, ewentualność (zaznaczona na rysunku 11 linią przerywaną) zachodzić nie może.

Wówczas bowiem bok $ PN = 18 $ byłby sumą boków kilku kwadratów, a w tym na pewno boku 15, gdyż dla kwadratu o boku 15. nie pozostałoby już gdzie indziej dość miejsca. Lecz 18 = 15 + 3, a 3 nie jest ani bokiem, ani sumą boków danych kwadratów. Wobec tego linią podziału wychodzącą z punktu $ N $ musi być przedłużenie boku $ PN $.

W takim razie posługując się podobnym rozumowaniem, jak poprzednio stwierdzimy, że odcinek $ LN=4 $ musi być bokiem jednego tylko kwadratu $ LRSN $, następnie stwierdzimy, że odcinek $ RK=10 $ musi być też bokiem jednego tylko kwadratu, po czym bez trudu znajdziemy położenie pozostałych kwadratów i otrzymamy rozwiązanie zadania przedstawione na rysunku 12.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź