I OM - B - Zadanie 19

Środki czterech jednakowych kulek leżą na okręgu koła, a środek ciężkości układu tych kulek leży w środku koła. Okazać, że środki kulek są wierzchołkami prostokąta.

Rozwiązanie

Niech $ A, B, C, D $ oznaczają kolejne wierzchołki czworokąta utworzonego przez środki kulek, a $ M $ i $ N $ - środki dwóch przeciwległych boków $ AB $ i $ CD $ tego czworokąta.

Zastąpmy kulki o środkach $ A $ i $ B $ kulką 2 razy cięższą o środku $ M $, a kulki o środkach $ C $ i $ D $ - kulką 2 razy cięższą o środku $ N $. Środek ciężkości układu tych dwóch nowych kulek jest ten sam, co środek ciężkości układu poprzednich czterech kulek, gdyż siły ciężkości działające w punktach $ A $ i $ B $ zastąpiliśmy ich wypadkową działającą w punkcie $ M $ i tak samo siły ciężkości działające w punktach $ C $ i $ D $ zostały zastąpione ich wypadkową działającą w punkcie $ N $. Zatem środek ciężkości dwóch kulek umieszczonych w punktach $ M $ i $ N $, czyli środek odcinka $ MN $, leży w środku rozważanego okręgu.

Cięciwy $ AB $ i $ CD $, których środki $ M $ i $ N $ leżą na średnicy okręgu, są do tej średnicy prostopadłe; cięciwy te są więc równoległe. Tak samo równoległe są dwa pozostałe boki $ BC $ i $ AD $ czworokąta $ ABCD $. Czworokąt ten jest więc wpisanym w koło równoległobokiem, czyli jest prostokątem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź