I OM - B - Zadanie 20

Boki trójkąta prostokątnego są wyrażone liczbami naturalnymi. Jedna z przyprostokątnych wyrażona jest liczbą 10. Obliczyć pozostałe boki tego trójkąta.

Rozwiązanie

Liczby naturalne $ x $ i $ y $ wyrażające długość przeciwprostokątnej i długość drugiej przyprostokątnej rozważanego trójkąta spełniają, według twierdzenia Pitagorasa, równanie

\[<br />
(1) \qquad x^2-y^2 = 10^2<br />
\]

Ponieważ $ 10^2 $ jest iiczbą parzystą, więc z równania (1) wynika, że liczby $ x^2 $ i $ y^2 $ są albo obie parzyste, albo obie nieparzysteo W takim razie również liczby $ x $ i $ y $ są albo obie parzyste, albo obie nieparzyste.

Z równania (1) wynika

\[<br />
(2) \qquad (x+y)(x-y)=10^2<br />
\]

Ponieważ liczby $ x $ i $ y $ są tej samej parzystości, więc liczby $ (x + y) $ i $ (x-y) $ są obie parzyste; ponadto $ x + y > x-y $. Otóż liczbę $ 10^2 = 100 $ można rozłożyć na iloczyn dwóch nierównych czynników parzystych tylko jednym sposobem: $ 100 = 50 \cdot 2 $. Zatem z równania (2) wynika, że

\[<br />
\begin{cases}<br />
x+y=50 \\<br />
x-y = 2<br />
\end{cases}<br />
\]

Stąd $ x = 26 $, $ y = 24 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź