I OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ m > 0 $, to $ m + \frac{4}{m^2} \geq 3 $.

Rozwiązanie

Sposób I

Gdy poszukujemy dowodu jakiegoś twierdzenia, postępujemy często podobnie, jak w analizie zadania konstrukcyjnego, przeprowadzając tzw. rozumowanie redukcyjne.

Zakładamy, że dane twierdzenie jest prawdziwe, wysnuwamy z omego wnioski zmierzając do tego, by otrzymać jakiEś znane twierdzenie prawdziwe. To prawdziwe twierdzenie obieramy za punkt wyjścia dowodu i staramy się drogą odwrotną do poprzedniej wywnioskować twierdzenie żądane.

Zastosujmy ten sposób do postawionego zadania.

Załóżmy, że gdy $ m > 0 $, to

\[<br />
(1) \qquad m + \frac{4}{m^2} \geq 3<br />
\]

Stąd wnioskujemy kolejno, że gdy $ m > 0 $, to

\[<br />
\begin{split}<br />
(2) &\qquad m^3 + 4 \geq 3m^2 \\<br />
(3) &\qquad m^3 - 3m^2 + 4 \geq 0 \\<br />
(4) &\qquad m^3 + m^2 - 4m^2 + 4 \geq 0 \\<br />
(5) &\qquad m^2(m + 1) - 4(m^2 - 1) \geq 0 \\<br />
(6) &\qquad (m + 1) (m^2 - 4m + 1) \geq 0 \\<br />
(7) &\qquad (m + 1)(m - 2)^2 \geq 0<br />
\end{split}<br />
\]

Otóż gdy $ m $ jest dodatnie, nierówność (7) jest na pewno prawdziwa, gdyż $ (m + 1) $ jest liczbą dodatnią, a $ (m - 2)^2 $ jest liczbą dodatnią lub równą zeru. Obieramy więc nierówność (7) za punkt wyjścia dowodu twierdzenia:

Niech $ m > 0 $; zachodzi wówczas nierówność (7), a z niej wysnuwamy kolejno nierówności (6), (5) itd., aż. do nierówności (1).

Sposób II

Sposób I ma tę niedogodność, że ten sam ciąg
nierówności od (1) do (7) trzeba przebiegać raz w jednym kierunku,
a drugi raz w kierunku przeciwnym. Możemy tego uniknąć i skrócić
rozumowanie stosując metodę sprowadzenia do niedorzeczności.
Przypuśćmy, że twierdzenie nasze jest fałszywe, to znaczy,
że istnieje taka dodatnia liczba $ m $, która spełnia nierówność

\[<br />
(1) \qquad m + \frac{4}{m^2} < 3<br />
\]

Stąd wnioskujemy kolejno, że gdy $ m > 0 $, to

\[<br />
\begin{split}<br />
(2) &\qquad m^3 + 4 < 3m^2 \\<br />
(3) &\qquad m^3 - 3m^2 + 4 < 0 \\<br />
(4) &\qquad m^3 + m^2 - 4m^2 + 4 < 0 \\<br />
(5) &\qquad m^2(m + 1) - 4(m^2 - 1) < 0 \\<br />
(6) &\qquad (m + 1) (m^2 - 4m + 1) < 0 \\<br />
(7) &\qquad (m + 1)(m - 2)^2 < 0<br />
\end{split}<br />
\]

Otrzymaliśmy wynik fałszywy, gdyż przy $ m > 0 $ żadna z liczb $ (m + 1) $ i $ (m - 2)^2 $ nie jest liczbą ujemną, a więc iloccyn nie może być ujemny.

Żadna dodatnia liczba $ m $ nie spełnia zatem nierówności (1).

Znaczy to, że

\[<br />
m + \frac{4}{m^2} \geq 3<br />
\]

dla każdego dodatniego $ m $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź