I OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że suma sześcianów $ n $ kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego jest podzielna przez sumę tych wyrazów.

Rozwiązanie

Sposób I

W rachunku, który wypadnie wykonać, dogodnie będzie skorzystać ze znanych wzorów na sumę pierwszych, drugich i trzecich potęg liczb naturalnych od 1 do $ (n - 1) $. Sumy te oznaczymy literami $ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 $:

\[<br />
\begin{split}<br />
\sigma_1 &= 1+2+\dots+(n-1) = \frac{(n-1)n}{2} \\<br />
\sigma_2 &= 1^2+2^2+\dots+(n-1)^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \\<br />
\sigma_3 &= 1+2+\dots+(n-1) = \frac{(n-1)n}{2} \\<br />
\end{split}<br />
\]

Zauważmy, że

\[<br />
\sigma_2 = \sigma_1 \cdot \frac{2n-1}{3}\cdot \sigma_3 = \sigma_1^2<br />
\]

Niech $ a $ oznacza pierwszy z rozważanych $ n $ kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego, $ d $ -różnicę postępu, $ S $ - sumę $ n $ kolejnych wyrazów postępu, $ T $ - sumę sześcianów tych wyrazów. Stosując powyższe wzory otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
S &= a + (a+d) + \dots + [a+(n-1)d] = \\<br />
& na + [1+2+\dots+(n-1)]d,<br />
\end{split}<br />
\]

czyli

\[<br />
S=na+\sigma_1 d<br />
\]

oraz

\[<br />
\begin{split}<br />
T &= a^3+ (a + d)^3 + \dots + [a + (n - 1) d]^3 = \\<br />
&= na^3 + 3 \cdot [1 + 2 + \dots  + (n - 1)]a^2 d + \\<br />
&+ 3\cdot [1^2 + 2^2 + \dots  + (n-1)^2] ad^2 + [1^3 + 2^3 + \dots  + (n-1)^3] d^3,<br />
\end{split}<br />
\]

zatem

\[<br />
T=na^3 + 3\sigma_1 a^2 d + 3\sigma_2 a d^2 + \sigma_3 d^3,<br />
\]

czyli

\[<br />
(2) \qquad na^3 + 3\sigma_1 a^2 d + (2n-1)\sigma_1 a d^2 + \sigma_1^2 d^3,<br />
\]

Sumy $ S $ i $ T $, wyrażone wzorami (1) i (2), są wielomianami uporządkowanymi względem $ a $. Najwyższe ich wyrazy $ na^3 $ i $ na $ dają iloraz $ a^2 $, a najniższe wyrazy, czyli $ \sigma_1^2 d^3 $ i $ \sigma_1 d $ dają iloraz $ \sigma_1 d^2 $

Jeśli wiclomian $ T $ jest podzielny przez dwumian $ S $, to iloraz ma postać $ a^2+ xad + \sigma_1d^2 $. Otóż

\[<br />
\begin{split}<br />
S(a^2+ xad + \sigma_1d^2) &= (na + \sigma_1 d) (a^2+ xad + \sigma_1 d^2)= \\<br />
&= na^3+ (nx + \sigma_l)a^2d + (x + n)\sigma_1 ad^2+ \sigma_1 d^2<br />
\end{split}<br />
\]

Otrzymany wielomian $ T $ będzie identyczny z wielomianem (2), gdy obierzemy $ x = n-l $, gdyż wówczas będzie $ nx + \sigma_1 = 3\sigma_1 $ i $ x + n = 2n-1 $.

Zatem

\[<br />
(*) \qquad T = S[a^2+(n-1)ad + \sigma_1 d^2]<br />
\]

Istotnie więc wielomian $ T $ jest podzielny przez dwumian $ S $.

Sposób II

  1. Przypuśćmy, że $ n $ jest liczbą nieparzystą: $ n = 2k + 1 $.
    Oznaczmy środkowy wyraz postępu literą $ b $, a różnicę postępu
    literą $ d $. Wówczas będziemy mieli postęp

    \[<br />
\begin{split}<br />
b - kd, b - (k - 1) d, &\dots  , b - d, b, b + d, \\<br />
&\dots  , b + (k - 1) d, b + kd.<br />
\end{split}<br />
\]

    Obliczamy sumę wyrazów tego postępu:

    \[<br />
S = (2k + 1) b<br />
\]

    Z kolei obliczamy sumę trzecich potęg wyrazów postępu:

    \[<br />
\begin{split}<br />
T=[b - kd]^3, [b - (k - 1) d]^3, &\dots  , [b - d]^3, b^3, [b + d]^3, \\<br />
&\dots  , [b + (k - 1) d]^3, [b + kd]^3.<br />
\end{split}<br />
\]

    Obliczenie pomocnicze:

    \[<br />
[b - kd]^3 + [b + kd]^3 = 2b^3+ 6k^2bd^2<br />
\]

    Podobnie mamy

    \[<br />
\begin{split}<br />
[b - (k-1)d]^3 + [b + (k-1)d]^3 = 2b^3+ 6(k-1)^2bd^2 \\<br />
\dots \\<br />
[b - d]^3 + [b + d]^3 = 2b^3+ 6bd^2 \\<br />
\end{split}<br />
\]

    W ten sposób otrzymujemy

    \[<br />
T=[2b^3+ 6k^2bd^2] + [2b^3+ 6(k-1)^2bd^2] + \dots + [2b^3+ 6bd^2] + b^3<br />
\]
    \[<br />
T=(2k+1)b^3 + 6[k^2+(k-1)^2 + \dots + 1^2] bd^2<br />
\]

    Korzystając ze wzoru

    \[<br />
1^2+2^2+\dots+(k-1)^2 + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}<br />
\]

    otrzymujemy

    \[<br />
\begin{split}<br />
T &= (2k + 1) b^3 + k (k + 1) (2k + 1) bd^2 \\<br />
T &= (2k + 1) b[b^2 + k (k + 1) d^2] \\<br />
(**)\qquad T &= S \cdot [b^2 + k (k + 1) d^2]<br />
\end{split}<br />
\]

    Ostatni wzór wykazuje, że $ T $ jest podzielne przez $ S $.

  2. W przypadku, gdy $ n $ jest liczbą parzystą: $ n = 2k $, w postępie nie ma wyrazu środkowego. W tym przypadku średnią arytmetyczną dwóch wyrazów stojących pośrodku postępu oznaczamy literą $ c $, a literą $ r $ oznaczamy połowę różnicy postępu. Mamy wtedy postęp

    \[<br />
\begin{split}<br />
c - (2k - 1) r, c - (2k - 3) r, &\dots  , c - 3r, c - r, c + r, c + 3r, \\<br />
&\dots  , c + (2k - 3)r, c + (2k - 1) r.<br />
\end{split}<br />
\]

    Obliczamy sumę wyrazów postępu:

    \[<br />
S=2kc<br />
\]

    Z kolei obliczamy sumę trzecich potęg wyrazów postępu:

    \[<br />
\begin{split}<br />
T = [c - (2k - 1) r]^3, [c - (2k - 3) r]^3, &\dots  , [c - 3r]^3, [c - r]^3, [c + r]^3, [c + 3r]^3, \\<br />
&\dots, [c + (2k - 3)r]^3, [c + (2k - 1) r]^3.<br />
\end{split}<br />
\]

    Obliczenia pomocnicze:

    \[<br />
\begin{split}<br />
[c - (2k - 1) r]^3 + [c + (2k - 1) r]^3 &= 2c^3+ 6(2k - 1)^2 cr^2 \\<br />
[c - (2k - 3) r]^3 + [c + (2k - 3) r]^3 &= 2c^3 + 6(2k - 3)^2 cr^2 \\<br />
\dots \\<br />
[c - 3r]^2 + [c + 3r]^3 &= 2c^3 + 6 \cdot 3^2cr^2 \\<br />
[c - r]^2 + [c + r]^3 = 2c^3 + 6 \cdot 1^2cr^2<br />
\end{split}<br />
\]

    Na podstawie powyższych wzorów mamy

    \[<br />
\begin{split}<br />
T &= [2c^3 + 6 (2k - 1)^2 cr^2] + [2c^3+ 6 (2k - 3)^2 cr^2] + \dots  + \\<br />
&+ [2c^3 + 6 \cdot 3^2 cr^2] + [2c^3 + 6 \cdot 1^2 cr^2] \\<br />
T &= 2kc^3 + 6 [(2k - 1)^2 + (2k - 3)^2 + \dots  + 3^2+ 1^2]cr^2<br />
\end{split}<br />
\]

    Trzeba obliczyć sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych nieparzystych.

    Otrzymamy ją odejmując od sumy kwadratćw liczb naturalnych od 1 do $ 2k $ sumę kwadratów liczb parzystych $ 2, 4, \dots , 2k $, czyli 4 razy wziętą sumę kwadratów liczb $ 1, 2, 3, \dots , k $, co daje

    \[<br />
\frac{2k(2k+1)(4k+1)}{6} - \frac{4k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}<br />
\]

    Korzystając z tego wzoru otrzymujemy

    \[<br />
\begin{split}<br />
T &= 2kc^3 + 2k (2k - 1) (2k + 1) cr^2 \\<br />
T &= 2kc [c^2 + (2k - 1) (2k + 1) r^2] \\<br />
(***) \qquad T &= S \cdot [c^2 + (2k - 1) (2k + 1) r^2]<br />
\end{split}<br />
\]

    Wzór ten dowodzi, że i w tym przypadku $ T $ jest podzielne przez $ S $.

Uwaga. Wzory (**) i (***) wyrażają ten sam związek, co wzór (*). Łatwo to sprawdzić podstawiając do wzoru (*) wartości $ n = 2k + 1 $, $ a = b- kd $ bądź też wartości $ n = 2k $, $ d = 2r $, $ a = c - (2k - 1) r $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź