LVII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite $ n $, dla których liczba
$ 2^n +105 $ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Jeśli $ n $ jest liczbą nieparzystą, to liczba $ 2^n +105 $ daje z dzielenia przez 3 resztę 2. Ponieważ liczba będąca kwadratem liczby całkowitej nie może dawać reszty 2 z dzielenia przez 3, więc liczba $ n $ spełniająca warunki zadania musi być parzysta.

Przyjmijmy więc, że $ n =2k $ dla pewnej liczby całkowitej nieujemnej $ k $. Chcemy rozwiązać równanie $ 2^2k +105 = m^2 $ w liczbach całkowitych nieujemnych $ k $ i $ m $. Równanie to przepisujemy w postaci $ (m-2^k)(m+2^k) = 105 $.

Z uzyskanej równości wynika, że $ m-2^k >0 $. Oczywiście również spełniona jest nierówność $ m+2^k >m-2^k $. Ponieważ $ 105=3\cdot 5\cdot 7 $, więc wyznaczenie liczb całkowitych nieujemnych m i k spełniających zależność $ (m-2^k)(m+2^k)=105 $ sprowadza się do rozwiązania czterech układów równań:

\[<br />
\begin{cases}<br />
m-2^k =7 \\<br />
m+2^k = 15<br />
\end{cases}<br />
\begin{cases}<br />
m-2^k =5 \\<br />
m+2^k = 21<br />
\end{cases}<br />
\begin{cases}<br />
m-2^k =3 \\<br />
m+2^k = 35<br />
\end{cases}<br />
\begin{cases}<br />
m-2^k =1 \\<br />
m+2^k = 105<br />
\end{cases}<br />
\]

Odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego dochodzimy do wniosku, że liczba $ 2 \cdot  2^k =2^{k+1} $ równa się 8, 16, 32 lub 104. Stąd uzyskujemy trzy możliwe wartości $ k $; są nimi: 2, 3 lub 4. Tym samym możliwe wartości liczby n wynoszą 4, 6 lub 8.

Bezpośrednio sprawdzamy, że dla uzyskanych trzech wartości $ n $ liczba $ 2^n +105 $ jest kwadratem liczby całkowitej:

\[<br />
\begin{split}<br />
2^4 +105 &= 121 = 11^2,\\<br />
2^6 +105 &= 169 = 13^2,\\<br />
2^8 +105 &= 361 = 19^2 .<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź