LVII OM - I - Zadanie 2

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych nieujemnych $ x $ równanie

\[<br />
\sqrt[5]{x}=\left[\sqrt[5]{3x}\right]<br />
\]

Uwaga: $ [t] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $ t $.

Rozwiązanie

Niech $ x $ będzie liczbą spełniającą dane równanie. Wtedy liczba $ y = \sqrt[5]{x} $ jest całkowita. Ponadto $ y \geq 0 $, gdyż $ x \geq 0 $. Podstawiając więc $ x = y^5 $ do rozpatrywanego równania otrzymujemy

\[<br />
y = \left[\sqrt[5]{3}\cdot y\right].<br />
\]

Zależność ta oznacza, że

\[<br />
y\leq \sqrt[5]{3} \cdot < y+1.<br />
\]

Pierwsza z tych nierówności jest prawdziwa dla dowolnej liczby nieujemnej y. Druga natomiast jest równoważna nierówności

\[<br />
(1) \qquad y < \frac{1}{\sqrt[5]{3}-1}<br />
\]

Ponieważ liczba $ 1/(\sqrt[5]{3}-1) $ należy do przedziału $ (4,5) $, więc spośród liczb całkowitych nieujemnych tylko liczby 0, 1, 2, 3, 4 spełniają zależność (1). Tym samym niewiadoma $ x $ przyjmuje jedną z pięciu wartości: 0, 1, $ 2^5 $, $ 3^5 $ lub $ 4^5 $.

Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że każda z tych pięciu liczb spełnia wyjściowe równanie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź