LVII OM - I - Zadanie 3

Trójkąt ostrokątny $ ABC $ jest wpisany w okrąg o środku $ O $. Punkt $ D $ jest rzutem prostokątnym punktu $ C $ na prostą $ AB $, a punkty $ E $ i $ F $ są rzutami prostokątnymi punktu $ D $ odpowiednio na proste $ AC $ i $ BC $. Wykazać, że pole czworokąta $ EOFC $ jest równe połowie pola trójkąta $ ABC $.

Rozwiązanie

Niech $ P $ będzie punktem symetrycznym do punktu $ C $ względem punktu $ O $ (rys. 1). Ponieważ trójkąt $ ABC $ jest ostrokątny,
więc punkty $ A $, $ P $, $ B $ i $ C $ leżą na okręgu o środku $ O $ w tej własnie kolejności.

om57_1r_img_1.jpg

Pola trójkątów $ COE $ i $ POE $ są równe, gdyż trójkąty te mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $ E $, a odcinki $ CO $ i $ OP $ są równej długości. Analogicznie, pola trójkątów $ COF $ i $ POF $ są równe. Stąd otrzymujemy $ [EOFC] = \frac{1}{2}\cdot [EPFC] $, gdzie symbolem $ [\mathcal{F}] $ oznaczyliśmy pole figury $ \mathcal{F} $.

Aby dokończyc rozwiązanie należy dowieść, ze $ [EPFC]=[ABC] $.

Odcinek $ CP $ jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, więc pro­ste $ AP $ i $ AC $ są prostopadłe. Prosta $ DE $ jest
prostopadła do prostej $ AC $, więc równoległa do prostej $ AP $ . Stąd wynika, że pola trójkątów $ DEA $ i $ DEP $ są równe. Podobnie,
pola trójkątów $ DFB $ i $ DFP $ są równe. Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
[EPFC] &= [EDFC]+[DEP]+[DFP]= \\<br />
&= [EDFC]+[DEA]+[DFB]=[ABC],<br />
\end{split}<br />
\]

co kończy rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź