LVII OM - I - Zadanie 5

Niech $ a, b $ będą liczbami rzeczywistymi. Rozważamy funkcje $ f(x)= ax+b|x| $ oraz $ g(x)= ax-b|x| $.
Wykazać, że jeśli $ f(f(x)) = x $ dla każdej liczby rzeczywistej $ x $, to również $ g(g(x)) = x $ dla każdej liczby rzeczywistej $ x $.

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $ x $ mamy

\[<br />
g(x)= ax-b|x| = -(a\cdot (-x)+b\cdot |-x|)= -f(-x).<br />
\]

Zatem dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ otrzymujemy

\[<br />
g(g(x)) = -f(-g(x)) = -f(f(-x)) = -(-x)= x,<br />
\]

co należało udowodnić.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź