LVII OM - I - Zadanie 6

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ wysokości przecinają się w punkcie $ H $. Prosta przechodząca przez $ H $ przecina odcinki $ AC $ i $ BC $
odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Prosta przechodząca przez $ H $ i prostopadła do prostej $ DE $ przecina prostą $ AB $ w punkcie $ F $.
Dowieść, że

\[<br />
\frac{DH}{HE} = \frac{AF}{FB}<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ K $ będzie punktem przecięcia prostej $ AH $ z prostą przechodzącą przez punkt $ B $ i równoległą do prostej
$ FH $ (rys. 2). Oznaczmy przez $ X $ rzut prostokątny punktu $ A $ na prostą $ BC $, zaś przez $ Y $ punkt przecięcia prostych
prostopadłych $ DE $ i $ BK $.

om57_1r_img_2.jpg

Odcinki $ BX $ i $ HY $ są wysokościami w trójkącie $ BHK $, a zatem prosta $ KE $ zawiera trzecią wysokość tego trójkąta.
Zatem prosta $ KE $ jest prostopadła do prostej $ BH $, czyli równoległa do prostej $ AC $. Stąd

\[<br />
\frac{DH}{HE}=\frac{AH}{HK}=\frac{AF}{FB}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź