LVII OM - I - Zadanie 7

Dana jest liczba pierwsza $ p> 3 $ oraz takie liczby całkowite dodatnie $ a, b, c $, że $ a + b+ c = p+1 $ oraz liczba
$ a^3 +b^3 +c^3 -1 $ jest podzielna przez $ p $. Udowodnić, że co najmniej jedna z liczb $ a, b, c $ jest równa 1.

Rozwiązanie

Zauważmy, że

\[<br />
\begin{split}<br />
(a+b+c)^3 &= a^3 +b^3 +c^3 +3(a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+ca+ac+2abc)= \\<br />
&= a^3 +b^3 +c^3 +3(a+b)(b+c)(c+a).<br />
\end{split}<br />
\]

Zgodnie z warunkami zadania liczby $ a+b+c $ oraz $ a^3 +b^3 +c^3 $ dają z dzielenia przez $ p $ resztę 1, a więc na mocy powyższej tożsamości liczba

\[<br />
3(a +b)(b+c)(c+a)<br />
\]

jest podzielna przez $ p $. Skoro $ p $ jest liczbą pierwszą różną od 3, to któryś z czynników $ a + b $, $ b + c $ lub $ c + a $ jest podzielny przez $ p $. Przyjmijmy, bez straty ogólności, że $ p|a+b $.

Liczby $ a, b, c $ są całkowite dodatnie, więc $ 0 <a+b<a+b+c = p+1 $. Stąd wynika, że $ a+b = p $, czyli $ c = 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź