LVII OM - I - Zadanie 10

Liczby rzeczywiste dodatnie $ a, b, c $ spełniają warunek

\[<br />
ab+ bc +ca =3.<br />
\]

Dowieść, że

\[<br />
a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \geqslant 9.<br />
\]

Rozwiązanie

Wykażemy najpierw, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c spełniona jest nierówność

\[<br />
(1) \qquad	a^3 +b^3 + c^3 +6abc \geq (a+b+c)(ab+bc+ca).<br />
\]

Wymnażając nawiasy przepisujemy nierówność (1) w postaci

\[<br />
a^3 +b^3 +c^3 -(a^2b+ab^2 +b^2c+bc^2 +c^2a+ca^2)+3abc \geq 0,<br />
\]

po czym grupując odpowiednie wyrazy sprowadzamy ją do zależności

\[<br />
a(a-b)(a-c)+b(b -c)(b -a)+c(c-a)(c-b) \geq 0.<br />
\]

Bez straty ogólności przyjmijmy, że $ a \leq b \leq c $ oraz zapiszmy ostatnią nierówność jako

\[<br />
a(b-a)(c-a)+(c-b)(c(c-a)-b(b-a)) \geq 0.<br />
\]

Oba składniki powyższej sumy są nieujemne. To kończy dowód nierówności (1).

Udowodnimy następnie, że dla dowolnych liczb dodatnich $ a, b, c $ spełniona jest nierówność

\[<br />
(2) 	(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca).<br />
\]

Istotnie: nierówność (2) jest równoważna zależności $ a^2 +b^2 +c^2 \geq ab+bc+ca $, która z kolei po pomnożeniu stronami przez 2 sprowadza się do zależności $ (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 \geq 0 $. Dowód nierówności (2) jest więc zakończony.

Korzystając z nierówności (1), (2) oraz uwzględniając dany w treści zadania warunek $ ab+bc+ca = 3 $ otrzymujemy

\[<br />
a^3 +b^3 +c^3 +6abc \geq \sqrt{3(ab+bc+ca)} \cdot (ab+bc+ca)=9.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź