LVII OM - II - Zadanie 2

Dany jest trójkąt $ ABC $, w którym $ AC+BC =3AB $. Okrąg o środku $ I $ wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boków
$ BC $ i $ CA $ odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Niech $ K $ i $ L $ będą punktami symetrycznymi odpowiednio do punktów
$ D $ i $ E $ względem punktu $ I $. Udowodnić, że punkty $ A, B, K, L $ leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez P punkt przecięcia dwusiecznej kąta ACB z okręgiem opisanym na trójkącie ABC (rys. 1). Wówczas AP = BP . Ponadto

\[<br />
\begin{split}<br />
\measuredangle PAI &= \measuredangle PAB +\measuredangle BAI = \measuredangle PCB + \measuredangle  CAI = \\<br />
&= \measuredangle ACI +\measuredangle CAI = \measuredangle PIA,<br />
\end{split}<br />
\]

skąd wynika, że $ AP = IP $.

om57_2r_img_1.jpg
om57_2r_img_2.jpg

Punkty $ A, B $ oraz $ I $ leżą więc na okręgu o środku $ P $ . Wykażemy, że na tym okręgu leżą również punkty $ K $ i $ L $.

Punkty $ D $ i $ E $ są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $ z bokami $ BC $ i $ AC $, a więc $ CD = CE = \frac{1}{2}(AC+BC-AB) $. Ponadto dana w treści zadania równość jest równoważna zależności $ AB=\frac{1}{2}(AC+BC-AB) $. Stąd wynika, że CD = AB.

Oznaczmy przez $ M $ środek odcinka $ AB $, a przez $ N $ rzut prostokątny punktu $ P $ na prostą $ DI $ (rys. 2). Wówczas proste
$ PN $ i $ BC $ są równoległe, wobec czego $ \measuredangle PAM = \measuredangle PCB = \measuredangle IPN $. To w połączeniu z równością
$ AP = IP $ dowodzi, że trójkąty prostokątne $ APM $ i $ PIN $ są przystające. Stąd otrzymujemy $ PN = AM $.

Proste $ CD $ i $ PN $ są równoległe, więc

\[<br />
\frac{ID}{IN}=\frac{CD}{PN}=\frac{AB}{AM}=2<br />
\]

skąd dostajemy $ ID =2\cdot IN $. Zależność ta w połączeniu z równością $ ID = IK $ implikuje, że $ IN =KN $. Zatem punkt
$ K $ jest symetryczny do punktu $ I $ względem prostej $ PN $. Wobec tego $ IP = KP $.

Analogicznie dowodzimy, że $ IP = LP $. Z uzyskanych zależności wynika, że punkty $ A, B, K, L $ oraz $ I $ leżą na okręgu o środku $ P $, co kończy rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź