LVII OM - II - Zadanie 3

Liczby dodatnie $ a, b, c $ spełniają warunek $ ab+bc+ca = abc $. Dowieść, że

\[<br />
\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq 1<br />
\]

Rozwiązanie

Dzieląc równość $ ab+bc+ca = abc $ stronami przez $ abc $ otrzymujemy

\[<br />
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1.<br />
\]

Podstawmy zatem: $ x=1/a,\ y =1/b,\ z =1/c $. Wtedy liczby $ x, y, z $ są dodatnie, a ich suma wynosi 1. Ponadto

\[<br />
\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} = \frac{\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}}{\frac{1}{xy}\left(\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}\right)}<br />
= \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}<br />
\]

Zatem dowodzona nierówność przybiera postać

\[<br />
(1) \qquad \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3} + \frac{y^4+z^4}{y^3+z^3} + \frac{z^4+x^4}{z^3+x^3} \geq 1<br />
\]

Wykażemy, że dla dowolnych liczb dodatnich $ x, y $ spełniona jest zależność

\[<br />
(2) \qquad \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3} \geq \frac{x+y}{2}.<br />
\]

Przekształcając równoważnie powyższą nierówność dostajemy kolejno

\[<br />
\begin{split}<br />
2x^4 + 2y^4 &\geq x^4 + x^3y + xy^3 + y^4, \\<br />
x^4 - xy + y^4 - xy^3 &\geq 0, \\<br />
(x^3 - y^3)(x-y) &\geq 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Uzyskaliśmy zależność prawdziwą dla dowolnych liczb dodatnich $ x $ i $ y $, a zatem nierówność (2) jest spełniona. Analogicznie dowodzimy, że

\[<br />
(3) \qquad \frac{y^4+z^4}{y^3+z^3} \geq \frac{y+z}{2} \quad\text{ oraz }\quad \frac{z^4+x^4}{z^3+x^3} \geq \frac{z+x}{2}.<br />
\]

Dodając stronami związki (2), (3) oraz wykorzystując warunek $ x + y + z = 1 $ otrzymujemy dowodzoną nierówność (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź