LVII OM - II - Zadanie 5

Punkt $ C $ jest środkiem odcinka $ AB $. Okrąg $ o_1 $ przechodzący przez punkty $ A $ i $ C $ przecina okrąg $ o_2 $ przechodzący
przez punkty $ B $ i $ C $ w różnych punktach $ C $ i $ D $. Punkt $ P $ jest środkiem tego łuku $ AD $ okręgu $ o_1 $, który nie zawiera
punktu $ C $. Punkt $ Q $ jest środkiem tego łuku $ BD $ okręgu $ o_2 $, który nie zawiera punktu $ C $. Dowieść, że proste $ PQ $ i $ CD $
są prostopadłe.

Rozwiązanie

Jeśli $ AC = CD $, to również $ BC = CD $. Wtedy odcinki $ PC $ i $ QC $ są odpowiednio średnicami okręgów $ o_1 $ i $ o_2 $. Zatem $ \measuredangle CDP = \measuredangle CDQ = 90^{\circ} $, skąd wynika, że punkt $ D $ leży na odcinku $ PQ $, a proste $ PQ $ i $ CD $ są prostopadłe.

Przyjmijmy więc w dalszej części rozwiązania, że $ AC \neq CD $.

Niech $ E $ będzie takim punktem leżącym na półprostej $ CD $, że $ CE = AC $ (rys. 3). Wtedy również $ CE = BC $.
Z zależności $ CE = AC $ oraz $ \measuredangle ACP = \measuredangle ECP $ wynika, że trójkąty $ ACP $ oraz $ ECP $ są przystające
(cecha bok-kąt-bok). Wobec tego $ EP = AP = DP $.

Analogicznie dowodzimy, że $ EQ = DQ $.

om57_2r_img_3.jpg

Z uzyskanych równości wynika, że punkty $ D $ i $ E $ są symetryczne względem prostej $ PQ $. Prosta $ DE $ jest więc prostopadła
do prostej $ PQ $, co kończy rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź