LVII OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $ a, b, c, d, e $ układ równań

\[<br />
\begin{cases}<br />
a^2 &= b^3 + c^3 \\<br />
b^2 &= c^3 + d^3 \\<br />
c^2 &= d^3 + e^3 \\<br />
d^2 &= e^3 + a^3 \\<br />
e^2 &= a^3 + b^3 \\<br />
\end{cases}<br />
\]

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że liczby $ a, b, c, d, e $ spełniają podany układ równań i że $ b $ jest największą z nich (nie tracimy ogólności, bo układ jest cykliczny). Wykażemy, że wówczas $ b = d $.

Przypuśćmy, przeciwnie, że $ b>d $. Odejmując drugie równanie od równania pierwszego dostajemy $ a^2 - b^2 = b^3 - d^3 > 0 $, czyli

\[<br />
(a-b)(a+b) > 0.<br />
\]

Liczba $ a $ nie jest większa od liczby $ b $; w takim razie $ a - b < 0 $ oraz $ a + b < 0 $. Ta ostatnia nierówność daje jednak wniosek, że $ a^3 + b^3 < 0 $, w sprzeczności z równaniem $ e^2 = a^3 + b^3 $.

Zatem istotnie $ b = d $, co oznacza, że także $ d $ ma maksymalną wartość wśród pięciu niewiadomych. Powtarzając to rozumowanie
stwierdzamy kolejno, że $ d = a = c = e $.

Dany w zadaniu układ równań sprowadza się zatem do rozwiązania równania $ a^2 =2a^3 $, skąd otrzymujemy $ a = 0 $ lub $ a = \frac{1}{2} $.

Odpowiedź: Układ równań ma dwa rozwiązania $ (a,b,c,d,e) $:

\[<br />
(0,0,0,0,0) \quad\text{oraz}\quad (\frac{1}{2}, \frac{1}{2} ,\frac{1}{2} ,\frac{1}{2} ,\frac{1}{2}).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź