LVII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie $ k $, dla których liczba $ 3^k+5^k $ jest potęgą liczby całkowitej o wykładniku naturalnym większym od 1.

Rozwiązanie

Jeżeli $ k $ jest liczbą parzystą, to liczby $ 3^k $ i $ 5^k $ są kwadratami liczb nieparzystych, dającymi resztę 1 z dzielenia
przez 4. Stąd wniosek, że liczba $ 3^k+5^k $ daje resztę 2 z dzielenia przez 4, a więc dzieli się przez 2 i nie dzieli się przez $ 2^2 $.
Taka liczba nie może być potęgą liczby całkowitej o wykładniku większym od 1.

Jeżeli $ k $ jest liczbą nieparzystą, to

\[<br />
3^k+5^k = (3+5)(3^{k-1} -3^{k-2} \cdot 5 + 3^{k-3} \cdot 5^2 - 3^{k-4} \cdot 5^3 + \dots -3\cdot 5^{k-2} + 5^{k-1}).<br />
\]

Drugi czynnik po prawej stronie powyższej zależności zawiera nieparzystą (równą $ k $) liczbę nieparzystych składników.
Stąd wynika, że liczba $ 3^k+5^k $ dzieli się przez 8 i nie dzieli się przez 16. Jeśli więc liczba ta jest potęgą liczby
całkowitej o wykładniku większym od 1, to musi być ona sześcianem liczby całkowitej.

Jeżeli $ k = 1 $, to rozpatrywana liczba jest sześcianem liczby całkowitej: $ 3^1 +5^1 =2^3 $. Przyjmijmy więc w dalszej
części rozumowania, że $ k \geq 3 $. Z zależności

\[<br />
\begin{split}<br />
0^3 \equiv 0 (\mod 9),& (\pm 1)^3 \equiv \pm 1 (\mod 9), (\pm 2)^3 \equiv \mp (\mod 9) , \\<br />
& (\pm 3)^3 \equiv 0 (\mod 9), (\pm 4)^3 \equiv \pm 1 (mod 9)<br />
\end{split}<br />
\]

wynika, że sześciany liczb całkowitych dają z dzielenia przez 9 jedynie reszty 0, 1, 8. Dla $ k \geq 3 $ mamy $ 9 | 3^k $,
więc $ 3^k+5^k \equiv 5^k (\mod 9) $.

Reszty z dzielenia przez 9 liczb $ 5, 5^2, 5^3, 5^4, 5^5, 5^6 $ są odpowiednio równe 5, 7, 8, 4, 2, 1. Wobec tego jeżeli
$ 3^k+5^k $ jest sześcianem liczby całkowitej przy $ k \geq 3 $, to $ 3|k $. Wcześniej wykazaliśmy, że $ k $ nie może być liczbą parzystą.
Zatem liczba $ k $ jest postaci $ 6l+3 $, gdzie $ l $ jest liczbą całkowitą nieujemną.

Z zależności $ 3^3 \equiv 5^3 \equiv 6 (\mod 7) $ oraz $ 3^6 \equiv 5^6 \equiv 1 (\mod 7) $ wynika, że

\[<br />
3^k+5^k =3^{6l+3} +5^{6l+3} \equiv 3^3 +5^3 \equiv 5 (\mod 7).<br />
\]

Jednakże z bezpośredniego sprawdzenia otrzymujemy, że sześcian liczby całkowitej daje z dzielenia przez 7 resztę 0, 1 lub 6:

\[<br />
\begin{split}<br />
0^3 \equiv 0 (\mod 7), & (\pm 1)^3 \equiv \pm 1 (\mod 7),\\<br />
(\pm 2)^3 \equiv \pm 1 (\mod 7), & (\pm 3)^3 \equiv \mp 1 (\mod 7).<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem rozpatrywana liczba dla $ k \geq 3 $ nie może być sześcianem liczby całkowitej, co kończy rozwiązanie zadania.

Odpowiedź: $ k = 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź