LVII OM - III - Zadanie 4

Na trójce liczb wykonujemy następującą operację. Wybieramy dwie spośród tych liczb i zastępujemy je ich sumą oraz ich iloczynem, pozostała liczba nie ulega zmianie. Rozstrzygnąć, czy rozpoczynając od trójki (3,4,5) i wykonując tę operację możemy ponownie uzyskać trójkę liczb będących długościami boków trójkąta prostokątnego.

Rozwiązanie

Jeżeli w pierwszym kroku wybierzemy liczby 3 i 5, to otrzymamy trójkę (4,8,15), w której dokładnie jedna liczba jest nieparzysta. Wybierając z ta­kiej trójki dwie liczby parzyste zamieniamy je na liczby parzyste, natomiast decydując się na jedną liczbę parzystą, a drugą nieparzystą dostajemy liczby różnych parzystości. Zatem z trójki, w której dokładnie jedna liczba jest nie­parzysta, otrzymamy trójkę, która ma tę samą własność.

Jeżeli jednak wśród liczb naturalnych $ a, b, c $ dokładnie jedna jest nieparzysta, to równość $ a^2+b^2=c^2 $ nie może zachodzić — jedna ze stron tej równości jest nieparzysta, a druga parzysta. Nie otrzymamy więc trójki liczb będących długościami boków trójkąta prostokątnego.

Z kolei wybierając w pierwszym kroku liczby 3 i 4 otrzymamy trójkę (5,7,12), a biorąc 4 i 5 uzyskamy trójkę (3,9,20). W obu tych trójkach jest dokładnie jedna liczba parzysta i jest ona największą liczbą w trójce. Jeżeli w takiej trójce wybierzemy dwie liczby nieparzyste, to otrzymamy trójkę, w której dokładnie jedna liczba jest nieparzysta. Z takiej trójki, jak już wiemy, nie otrzymamy trójki liczb będących długościami boków trójkąta prostokątnego.

Jeżeli natomiast będziemy konsekwentnie wybierać liczby różnych pa­rzystości, to w każdym kroku otrzymamy trójkę z dokładnie jedną liczbą parzystą, a z nierówności $ xy > x + y $ (prawdziwej dla liczb $ x,y > 2 $) wynika, że ta liczba parzysta będzie największą liczbą w trójce.

Pozostaje zauważyć, że jeżeli liczby naturalne $ a, b $ są nieparzyste, a liczba $ c $ jest parzysta, to $ a^2 + b^2 \equiv 1+1 (\mod 4) $,
więc równość $ a^2 + b^2 = c^2 $ nie może być spełniona.

Odpowiedź: Ponowne uzyskanie trójki liczb będących długościami boków trójkąta prostokątnego nie jest możliwe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź