LVII OM - III - Zadanie 5

Dany jest czworościan $ ABCD $, w którym $ AB = CD $. Sfera wpisana w ten czworościan jest styczna do ścian $ ABC $ i $ ABD $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $. Dowieść, że jeżeli punkty $ K $ i $ L $ są środkami ciężkości ścian $ ABC $ i $ ABD $, to czworościan $ ABCD $ jest foremny.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ s $ sferę wpisaną w czworościan $ ABCD $. Rozpoczniemy od wykazania, że trójkąty $ ABC $ i $ ABD $ są przystające.

Niech $ E $ będzie środkiem krawędzi $ AB $. Ponieważ $ K $ i $ L $ są punktami styczności sfery $ s $ do czworościanu $ ABCD $, to $ AK = AL $ i $ BK = BL $, skąd wynika, że trójkąty $ AKB $ i $ ALB $ są przystające. Ich środkowe $ KE $ i $ LE $ mają jednakową długość, skąd $ CE =3\cdot KE =3\cdot LE = DE $. Ale

\[<br />
\measuredangle CEB = \measuredangle KEB = \measuredangle LEB = \measuredangle DEB,<br />
\]

więc trójkąty $ BEC $ i $ BED $ są przystające.

Analogicznie dowodzimy, że trójkąty $ AEC $ i $ AED $ są przystające. Zatem trójkąty $ ABC $ i $ ABD $ są przystające.

Niech $ M $ i $ N $ będą punktami styczności sfery $ s $ odpowiednio ze ścianami $ BCD $ i $ CDA $.Otrzymujemy następujące pary
trójkątów przystających: $ BKC $ i $ BMC $; $ BLD $ i $ BMD $; $ AKC $ i $ ANC $; $ ALD $ i $ AND $; $ CMD $ i $ CND $.

Oznaczmy: $ \alpha = \measuredangle AKC $, $ \beta  = \measuredangle BKC $. Wtedy $ \measuredangle ALD = \alpha $ oraz
$ \measuredangle BLD = \beta $ , gdyż trójkąty $ ABC $ i $ ABD $ są przystające. Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
\measuredangle ANC = \measuredangle AKC = \alpha, &\quad \measuredangle AND = \measuredangle ALD = \alpha, \\<br />
\measuredangle BMC = \measuredangle BKC = \beta , &\quad \measuredangle BMD = \measuredangle BLD = \beta.<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd otrzymujemy $ \measuredangle DNC = 360^{\circ} - \measuredangle ANC - \measuredangle  AND = 360^{\circ} - 2\alpha $,
jak również $ \measuredangle DMC = 360^{\circ} -\measuredangle BMC -\measuredangle BMD = 360^{\circ} -2\beta $ .
Ale $ \measuredangle DMC = \measuredangle DNC $, skąd $ \alpha = \beta $. Zatem $ \measuredangle AKE = \measuredangle BKE $, więc
$ KE $ jest jednocześnie dwusieczną i środkową w trójkącie $ AKB $. Stąd $ AK = BK $, a więc $ AC = BC $. Ostatecznie otrzymujemy
więc $ AC = BC = AD = BD $.

Przez każdą krawędź czworościanu $ ABCD $ poprowadźmy płaszczyznę równoległą do przeciwległej krawędzi czworościanu. Płaszczyzny te wyznaczają równoległościan. W każdej z jego ścian jedna przekątna jest krawędzią czworościanu $ ABCD $, a druga przekątna jest równa i równoległa do przeciwległej krawędzi tego czworościanu. Ponieważ przeciwległe krawędzie czworościanu $ ABCD $ są równe, więc wszystkie ściany otrzymanego równoległościnu są prostokątami. A zatem równoległościan ten jest prostopadłościanem. Wynika stąd w szczególności, że prosta łącząca środki krawędzi $ AD $ i $ BC $ jest prostopadła do tych krawędzi.

Rozpatrzmy przekształcenie będące obrotem o kąt $ 180^{\circ} $ wokół prostej łączącej środki krawędzi $ AD $ i $ BC $. W wyniku tego przekształcenia czworościan $ ABCD $ przechodzi na siebie, więc sfera $ s $ też musi przejść na siebie. Ponadto ściany $ ABC $ i $ ABD $ przechodzą odpowiednio na ściany $ DCB $ i $ DCA $, a zatem środki ciężkości ścian $ DCB $ i $ DCA $ pokrywają się z punktami $ M $ i $ N $.

Analogicznie jak wyżej wykazujemy, że $ AB = BD = DC = CA $, skąd wnioskujemy, że wszystkie krawędzie czworościanu
$ ABCD $ są równej długości. To oznacza, że czworościan $ ABCD $ jest foremny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź