LVII OM - III - Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $ a $, $ b $, dla których istnieje taki wielomian $ P(x) $ o współczynnikach całkowitych, że iloczyn $ (x^2 + ax + b)\cdot P(x) $ jest wielomianem postaci

\[<br />
x^n +c_{n-1}x + \dots + c_1x + c_0,<br />
\]

gdzie każda z liczb $ c_0,c_1,\dots ,c_{n-1} $ jest równa 1 lub -1.

Rozwiązanie

Jeżeli trójmian $ x^2 + ax + b $ jest dzielnikiem pewnego wielomianu $ Q(x) $ o współczynnikach całkowitych, to oczywiście wyraz wolny $ b $ jest dzielnikiem wyrazu wolnego wielomianu $ Q(x) $. Wobec tego (w rozważanej sytuacji) $ b=\pm 1 $.

Żaden wielomian $ Q(x) $ postaci $ x^n \pm x^{n-1} \pm x^{n-2} \pm \ldots \pm x\pm 1 $ nie ma pierwiastków rzeczywistych o wartości
bezwzględnej większej lub równej 2. Przy­puśćmy bowiem, że liczba r o module |r|. 2 spełnia zależność Q(r) = 0. Wtedy

\[<br />
\begin{split}<br />
|r|^n = |r^n| = |r^{n-1} \pm r^{n-2} \pm \ldots \pm r \pm 1| \leq \\<br />
\leq |r|^{n-1} + |r|^{n-2} +\ldots +|r|+1 = \frac{|r|^n-1}{|r|-1} < \frac{|r|^n}{|r|-1},<br />
\end{split}<br />
\]

skąd wynika, że $ |r| < 2 $. Sprzeczność.

Z drugiej strony, każdy pierwiastek trójmianu $ T(x)= x^2 + ax + b $ jest też pierwiastkiem wielomianu $ T(x)\cdot P(x) $.
Stąd wynika, że trójmian $ T(x) $ nie ma pierwiastków w zbiorze $ (-\infty,-2\rangle \cup \langle 2,+\infty) $.
Zatem $ T(-2) > 0 $ oraz $ T(2) > 0 $, czyli $ 4-2a+b > 0 $ oraz $ 4+2a+b> 0 $.

Jeśli $ b = 1 $, to mamy $ 5 > 2a $ i $ 5 > -2a $, skąd wynika, że $ a $ jest jedną z liczb $ -2, -1, 0, 1, 2 $. Jeżeli natomiast
$ b = -1 $, to $ 3 > 2a $ i $ 3 > -2a $ i do rozpatrzenia pozostają przypadki, gdy $ a $ jest jedną z liczb -1, 0, 1.

Bezpośrednie sprawdzenie dowodzi, że wszystkie uzyskane pary (a,b) spełniają warunki zadania:

\[<br />
\begin{split}<br />
(x^2-2x+1)\cdot (x+1) = x^3 -x^2 -x+1, &\quad (x^2 +1)\cdot (x+1) = x^3 +x^2 +x+1, \\<br />
(x^2+2x+1)\cdot (x-1) = x^3 +x^2 -x-1, &\quad (x^2 -1)\cdot (x+1) = x^3 +x^2 -x-1, \\<br />
(x^2-x+1)\cdot 1= x^2 -x+1, &\quad (x^2 +x+1)\cdot 1= x^2 +x+1, \\<br />
(x^2-x-1)\cdot 1= x^2 -x-1, &\quad (x^2 +x-1)\cdot 1= x^2 +x-1.<br />
\end{split}<br />
\]

Odpowiedź: Warunki zadania spełnia następujących osiem par
$ (a,b) $: (-2,1), (-1,-1), (-1,1), (0,-1), (0,1), (1,-1), (1,1), (2,1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź