LVI OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $ x $, $ y $, $ z $ układ równań

\[<br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
x^{2}=yz+1\\<br />
y^{2}=zx+2\\<br />
z^{2}=xy+4<br />
\end{array}\right.<br />
\]

Rozwiązanie

Pierwsze równanie danego układu równań mnożymy przez $ y $, drugie przez $ z $, a trzecie przez $ x $. W ten sposób uzyskane równania dodajemy stronami otrzymując

\[<br />
(1)\qquad 0=y+2z+4x.<br />
\]

Następnie mnożymy pierwsze równanie danego w treści zadania układu równań przez $ z $, drugie przez $ x $, a trzecie przez $ y $. Po dodaniu stronami dostajemy

\[<br />
(2)\qquad 0=z+2x+4y.<br />
\]

Równanie (2) mnożymy przez $ -2 $ i dodajemy stronami do równania (1). W efekcie otrzymujemy $ 0 = -7y $, czyli $ y = 0 $. Wstawiając $ y = 0 $ do pierwszego równania uzyskujemy $ x^2 = 1 $, skąd x =1 lub x = -1. Wykorzystując po raz kolejny zależność (2) mamy $ z = -2x $, czyli odpowiednio $ z = -2 $ lub $ z = 2 $. Wykazaliśmy zatem, że jeśli trójka $ (x,y,z) $ spełnia podany układ rów­nań, to jest nią $ (1,0,-2) $ lub $ (-1,0,2) $. Z drugiej strony, bezpośrednie spraw­dzenie pokazuje, że obie uzyskane trójki $ (x,y,z) $ są rozwiązaniami danego układu równań.

Odpowiedź: $ (x,y,z) = (1,0,-2) $ lub $ (x,y,z) = (-1,0,2) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź