LVI OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n>1 $, dla których wartość sumy $ 2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2} $ jest potęgą liczby pierwszej o wykładniku naturalnym.

Rozwiązanie

Ze wzoru $ 1+2^{2}+3^{2}+ \ldots+n^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $, prawdziwego dla dowolnej liczby naturalnej $ n $, otrzymujemy

\[<br />
2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{1}{6}(n(n+1)(2n+1)-6)=\frac{1}{6}(n-1)(2n^2+5n+6).<br />
\]

Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia wszystkich liczb naturalnych $ n>1 $, liczb pierwszych $ p $ oraz liczb całkowitych dodatnich $ k $, dla których spełniona jest równość

\[<br />
(1)\qquad (n-1)(2n^{2}+5n+6)=6p^{k}<br />
\]

Ponieważ czynnik $ 2n^2 +5n+6 $ jest większy od $ 6 $, więc z równości (1) wynika, że jest on podzielny przez $ p $. Wykażemy, że z kolei czynnik $ n-1 $ nie jest podzielny przez $ p $.

Przypuśćmy, że $ p|n-1 $. Ponieważ także liczba

\[<br />
(2)\qquad M=2n^{2}+5n+6=2(n-1)^{2}+9(n-1)+13<br />
\]

jest podzielna przez $ p $, więc $ p $ jest dzielnikiem pierwszym liczby $ 13 $. Zatem $ p = 13 $. Stąd $ n - 1 \geq 13 $, co pociąga nierówność $ M \geq 36\cdot 13 $. Z równości (1) wnioskujemy, że $ M $ jest dzielnikiem liczby $ 6\cdot13^k $, a skoro $ M> 6\cdot13 $, to musi zachodzić podzielność $ 13^2 |M $. Z zależności (2) uzyskujemy zatem, że liczba $ 9(n-1)+13 $ jest podzielna przez $ 13^2 $, a więc

\[<br />
(3)\qquad \textrm{liczba } 9 \cdot \frac{1}{13}(n-1)+1 \textrm{ dzieli się przez } 13.<br />
\]

Liczba $ (n-1) $ jest — na mocy równości (1) — dzielnikiem liczby $ 6\cdot13^k-1 $ i jednocześnie nie jest — na mocy podzielności (3) — podzielna przez 13. Stąd wynika, że liczba $ \frac{1}{13}(n-1) $ jest równa 1, 2, 3 lub 6. Jednak w żadnym z tych czterech przypadków nie jest spełniona podzielność (3). Otrzymaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że czynnik $ n-1 $ nie jest podzielny przez $ p $.

Z równości (1) wnioskujemy zatem, że czynnik $ n-1 $ musi być jedną z liczb: 1, 2, 3 lub 6. Stąd liczba $ n $ jest równa 2, 3, 4 lub 7. Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że istotnie każda z tych liczb spełnia warunki zadania:

\[<br />
2^{2}=2^{2},2^{2}+3^{2}=13^{1},2^{2}+3^{2}+4^{2}=29^{1},2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}=139^{1}.<br />
\]

Odpowiedź: Liczba $ n $ jest równa 2, 3, 4 lub 7.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź