LVI OM - I - Zadanie 3

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ punkt $ D $ jest rzutem prostokątnym punktu $ C $ na prostą $ AB $. Punkt $ E $ jest rzutem prostokątnym punk-tu $ D $ na prostą $ BC $. Punkt $ F $ leży na odcinku $ DE $, przy czym

\[<br />
\frac{EF}{FD}= \frac{AD}{DB}.<br />
\]

Wykazać, że proste $ CF $ i $ AE $ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Przez punkt $ D $ poprowadźmy prostą równoległą do prostej $ AE $, która przecina bok $ BC $ w punkcie $ G $ (rys. 1). Na mocy twierdzenia Talesa uzyskujemy proporcje

\[<br />
\frac{EF}{FD}= \frac{AD}{DB}= \frac{EG}{GB},<br />
\]

skąd wynika, że proste $ FG $ i $ DB $ są równoległe. Stąd oraz z podobieństwa trójkątów prostokąt­nych $ CDE $ i $ DBE $ otrzymujemy równości

\[<br />
\frac{FD}{GB}= \frac{ED}{EB}= \frac{CD}{DB},<br />
\]

om56_1r_img_1.jpg

Powyższa zależność wraz z równością $ \measuredangle CDF = \measuredangle DBG $ dowodzi, że trójkąty $ CDF $ i $ DBG $ są podobne. Zatem $ \measuredangle  DAE = \measuredangle BDG = \measuredangle DCF $. Jeśli przez $ P $ oznaczymy punkt przecięcia prostych $ CF $ i $ AE $, to z ostatniej zależności wynika, że punkty $ A, D, C, P $ leżą na jednym okręgu. Ostatecznie mamy $ \measuredangle APC = \measuredangle ADC = 90^\circ $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź