LVI OM - I - Zadanie 5

Czworokąt $ ABCD $ jest wpisany w okrąg, a okręgi wpisane w trójkąty $ ABC $ i $ BCD $ mają równe promienie. Rozstrzygnąć, czy z tych założeń wynika, że także okręgi wpisane w trójkąty $ CDA $ i $ DAB $ mają równe promienie.

Rozwiązanie

Odpowiedź postawiona na pytanie w treści zadania jest twierdząca.

Niech $ I $, $ J $ będą środkami okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty $ ABC $ i $ BCD $ (rys. 2).

om56_1r_img_2.jpg
om56_1r_img_3.jpg

Z równości promieni okręgów wpisanych w trójkąty $ ABC $ i $ BCD $ wynika, że proste $ BC $ i $ IJ $ są równoległe. Ponadto

\[<br />
\measuredangle BIC = 180^\circ -(\frac{1}{2} \measuredangle CBA+ \frac{1}{2} \measuredangle BCA) = 90^\circ + \frac{1}{2} \measuredangle BAC.<br />
\]

Analogicznie dowodzimy, że $ \measuredangle BJC = 90^\circ + \frac{1}{2} \measuredangle BDC $. Z uzyskanych zależności oraz z równości $ \measuredangle  BAC = \measuredangle BDC $ wnioskujemy, że na czworokącie $ BCJI $ można opisać okrąg. Zatem $ BCJI $ jest trapezem równoramiennym. Stąd uzyskujemy równości

\[<br />
\measuredangle ABC =2\measuredangle IBC =2\measuredangle JCB = \measuredangle DCB.<br />
\]

W efekcie otrzymujemy, że czworokąt $ ABCD $ jest trapezem równoramiennym o podstawach $ BC $ i $ AD $. Stąd wynika, że trójkąty $ CDA $ i $ DAB $ są przystające, a więc okręgi wpisane w te trójkąty mają równe promienie.

Uwaga: W rozwiązaniu wykazaliśmy, że punkty $ B $, $ I $, $ J $, $ C $ leżą na jednym okręgu. Nietrudno wyznaczyć środek tego okręgu: jest nim punkt $ M $ przecięcia prostych $ AI $ i $ DJ $, czyli środek łuku $ BC $ okręgu opisanego na czworokącie $ ABCD $ (rys. 3). Dowód tego faktu można znaleźć w broszurze LI Olimpiada Mate­matyczna, Sprawozdanie Komitetu Głównego, Warszawa 2001, Dodatek E, str. 113.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź