LVI OM - I - Zadanie 6

Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończony ciąg liczb naturalnych $ a_1,a_2, a_3,\ldots $ spełniający równanie

\[<br />
\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{a_{n+1}} + \frac{1}{a_{n+2}} \textrm{ dla } n=1, 2, 3, \ldots.<br />
\]

Rozwiązanie

Wykażemy, że ciąg $ (a_n) $ spełniający warunki zadania nie istnieje.

Przypuśćmy, że ciąg $ (a_n) $ spełnia warunki zadania. Rozumowanie przeprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Z podanej równości wynika, że ciąg $ (a_n) $ jest rosnący, a ponadto

\[<br />
(1)\qquad a_{n+2}(a_{n+1}-a_{n})=a_{n}a_{n+1}.<br />
\]

Liczba $ a_{n+1}-a_{n} $ jest podzielna przez największy wspólny dzielnik liczb $ a_n $ i $ a_{n+1} $. Z równości (1) wynika zatem, że liczba $ a_{n+2} $ jest dzielnikiem liczby

\[<br />
\frac {a_{n}a_{n+1}} {\mathrm{NWD}(a_{n}, a_{n+1})} = \mathrm{NWW}(a_{n}, a_{n+1}).<br />
\]

Niech $ k = \mathrm{NWW}(a_1,a_2) $. Wykażemy indukcyjnie, że dla każdego $ n \geq 1 $, liczba $ a_n $ jest dzielnikiem liczby $ k $.

Dla $ n =1 $ i $ n = 2 $ jest to prawda na mocy określenia liczby $ k $.

Jeśli z kolei $ a_n |k $ oraz $ a_{n+1} |k $ dla pewnej liczby $ n \geq 1 $, to liczba $ k $ jest wspólną wielokrotnością liczb $ a_n $, $ a_{n+1} $, jest więc podzielna przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $ a_n $, $ a_{n+1} $. Stąd, skoro $ a_{n+2} |\mathrm{NWW}(a_n,a_{n+1}) $, uzyskujemy podzielność $ a_{n+2} |k $. Dowód indukcyjny jest zakończony.

Wcześniej stwierdziliśmy, że ciąg $ (a_n) $ jest rosnący. Liczba dodatnia $ k $ ma zatem nieskończenie wiele dzielników. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje ciąg $ (a_n) $ o żądanych własnościach.

Sposób II

Niech $ x_n =1/a_n $. Wówczas ciąg $ (x_n) $ jest zbieżny do 0, a daną w treści zadania równość możemy przepisać w postaci $ x_{n+2}=-x_{n+1}+x_{n} $. Stosując metodę rozwiązywania rekurencji liniowych (zob. L Olimpiada Mate­matyczna, Sprawozdanie Komitetu Głównego, Warszawa 2000, Dodatek A, str. 103) uzyskujemy równość

\[<br />
x_{n}=a\cdot\left(\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\right)^{n}+b\cdot\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{n},<br />
\]

gdzie $ a $, $ b $ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi zależnymi tylko od dwóch początkowych wartości $ x_1 $ i $ x_2 $.

Wartość bezwzględna liczby $ \frac{1}{2}(-\sqrt{5}-1) $ jest większa od 1, a wartość bezwzględna liczby $ \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1) $ jest mniejsza od 1. Zatem ciąg $ (x_n) $ jest zbieżny do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0. Stąd uzyskujemy

\[<br />
x_{n}=b\cdot\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{n},\ \textrm{a więc}\ \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.<br />
\]

Otrzymaliśmy sprzeczność, gdyż liczba $ a_1/a_2 $ jest wymierna, a $ \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1) $ - niewymierna.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź