LVI OM - I - Zadanie 7

Trzy sfery, parami styczne zewnętrznie, są styczne do pewnej płasz­czyzny w punktach $ A $, $ B $, $ C $. Znając długości odcinków $ BC = a $, $ CA = b $, $ AB = c $, obliczyć promienie tych sfer.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że rozpatrywane sfery leżą po jednej stronie płaszczyzny, do której są styczne.

om56_1r_img_4.jpg

Oznaczmy przez $ r_A $, $ r_B $ i $ r_C $ promienie rozważanych sfer, styczne do danej płaszczyzny odpowiednio w punktach $ A $, $ B $ i $ C $. Wówczas na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy (rys. 4)

\[<br />
(1)\qquad 	a^2 =(r_B +r_C )^2 -(r_B -r_C)^2 =4r_Br_C .<br />
\]

Analogicznie uzyskujemy $ b^2 =4r_C r_A $ oraz $ c^2=4r_Ar_B $. Mnożąc stronami dwie ostatnie równości oraz wykorzystując równość (1) otrzymujemy

\[<br />
b^{2}c^{2}=(4r_{B}r_{C})\cdot(4r_{A}^{2})=4a^{2}r_{A}^{2},<br />
\]

skąd obliczamy $ r_A = bc/(2a) $. Analogicznie dostajemy równości

\[<br />
r_{B}=\frac{ca}{2b}\ \text{oraz}\ r_{C}=\frac{ab}{2c}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź