LVI OM - I - Zadanie 9

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ a $, dla których ciąg $ (x_n) $ określony wzorami

\[<br />
x_{0}=\sqrt{3},\ x_{n+1}= \frac{1+ax_{n}}{a-x_{n}}\ \textrm{dla}\ n=0,1,2,\ \ldots<br />
\]

spełnia warunek $ x_{n+8} = x_n $ dla $ n =0, 1, 2, \ldots $.

Rozwiązanie

Sposób I

Aby ciąg $ (x_n) $ był poprawnie określony, musi być $ x_n \neq a $ dla każdego $ n\geq 0 $. Niech $ \alpha \in (0;\pi) $ będzie taką liczbą, że $ a = \mathrm{ctg} \alpha $. Wykażemy indukcyjnie, że

\[<br />
(1)\qquad x_n = \mathrm{ctg}( \frac {1}{6} \pi -n\alpha )\ \textrm{dla } n =0,1,2,\ldots .<br />
\]

Dla $ n = 0 $ równość (1) jest spełniona. Przyjmijmy, że zachodzi ona dla pewnego $ n $. Jeśli $ \mathrm{ctg} x \neq \mathrm{ctg} y $, to

\[<br />
\mathrm{ctg}(x-y)=\frac{1+\mathrm{ctg} x \cdot \mathrm{ctg} y}{\mathrm{ctg} x - \mathrm{ctg} y}.<br />
\]

Warunek $ x_n \neq a $ implikuje, że $ \mathrm{ctg}( \frac {1}{6} \pi -n\alpha ) \neq \mathrm{ctg} \alpha $ Na mocy powyższego wzoru uzyskujemy

\[<br />
x_{n+1}=\frac{1+ax_{n}}{a-x_{n}}=<br />
\frac{1+(\mathrm{ctg} \alpha) \cdot (\mathrm{ctg} (\frac {1}{6} \pi -n\alpha))}{\mathrm{ctg} \alpha - \mathrm{ctg} (\frac {1}{6} \pi -n\alpha)}<br />
= \mathrm{ctg} (\frac {1}{6} \pi -(n+1)\alpha),<br />
\]

co kończy dowód indukcyjny zależności (1). Funkcja $ f(x) = \mathrm{ctg} x $ jest $ \pi $-okresowa. Korzystając z równości (1) wnioskujemy, że $ x_{n+8} = x_n $ dla wszystkich $ n \neq 0 $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba całkowita $ k $, że $ 8 \alpha = k\pi $. Stąd uzyskujemy $ \alpha = \frac{1}{8} k \pi $, a ponieważ liczba $ \alpha $ należy do przedziału $ (0;\pi) $, więc $ k $ jest jedną z liczb: $ 1,2,\ldots,7 $. Zatem równość $ x_{n+8} = x_n $ jest prawdziwa dla $ n =0,1,2,\ldots $ wtedy i tylko wtedy, gdy a jest jedną z liczb:

\[<br />
\mathrm{ctg}(\frac{1}{8}\pi),\<br />
\mathrm{ctg}(\frac{1}{4}\pi),\<br />
\mathrm{ctg}(\frac{3}{8}\pi),\<br />
\mathrm{ctg}(\frac{1}{2}\pi),\<br />
\mathrm{ctg}(\frac{5}{8}\pi),\<br />
\mathrm{ctg}(\frac{3}{4}\pi),\<br />
\mathrm{ctg}(\frac{7}{8}\pi),\<br />
\]

czyli odpowiednio: $ \sqrt{2}+1, 1, \sqrt{2}-1, 0, - \sqrt{2}+1, -1, - \sqrt{2}-1 $. Bezpośrednio sprawdzamy, że dla powyższych siedmiu wartości $ a $, ciąg $ (x_n) $ jest poprawnie określony, tzn. $ x_n \neq a $ dla $ n =0, 1,2\ldots,7 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź