LVI OM - I - Zadanie 11

Okrąg o środku $ I $ jest wpisany w czworokąt wypukły $ ABCD $, przy czym punkt $ I $ nie leży na prostej $ AC $. Przekątne $ AC $ i $ BD $ przecinają się w punkcie $ E $. Prosta przechodząca przez punkt $ E $ oraz prostopadła do prostej $ BD $ przecina proste $ AI $, $ CI $ odpowiednio w punktach $ P $, $ Q $. Wykazać, że $ PE = EQ $.

Rozwiązanie

Niech $ o_1 $ będzie okręgiem o środku $ P $ i stycznym do prostych $ AD $ i $ AB $ odpowiednio w punktach $ S $ i $ T $. Analogicznie, niech $ o_2 $ będzie okręgiem o środku $ Q $ i stycznym do prostych $ CB $ i $ CD $ odpowiednio w punktach $ U $ i $ W $ (rys. 5). Oznaczmy przez $ o $ okrąg wpisany w czworokąt $ ABCD $. Bez straty ogólności przyjmijmy, że punkt $ Q $ leży na odcinku $ CI $.

om56_1r_img_5.jpg

Korzystając z twierdzenia Menelausa dla trójkąta $ PIQ $ uzyskujemy

\[<br />
\frac{PE}{EQ}=\frac{CI}{CQ}\cdot\frac{AP}{AI}=\frac{r}{r_{2}}\cdot\frac{r_{1}}{r}=\frac{r_{1}}{r_{2}},<br />
\]

gdzie $ r $, $ r_1 $ i $ r_2 $ są odpowiednio promieniami okręgów $ o $, $ o_1 $ i $ o_2 $. Stąd

\[<br />
(1)\qquad \frac{PE}{r_{1}}=\frac{EQ}{r_{2}}=\lambda.<br />
\]

Wprowadźmy następujące oznaczenia: $ a=BT $ , $ b=DS $, $ c=BU $, $ d=DW $. Wówczas otrzymujemy zależności:

\[<br />
(2)\qquad<br />
\begin{array}{l}<br />
a-b=AB-AD=CB-CD=c-d,\\<br />
a^{2}-b^{2}=PB^{2}-PD^{2}=BE^{2}-DE^{2}=QB^{2}-QD^{2}=c^{2}-d^{2}.<br />
\end{array}<br />
\]

Zatem jeśli $ a=b $, to $ AB =AD $ oraz $ CB =CD $; w tym przypadku punkt $ I $ leży na przekątnej $ AC $, co przeczy założeniom. Stąd mamy $ a \neq b $, a więc również $ c \neq d $. Z równości (2) otrzymujemy wówczas $ a + b = c + d $, co w połączeniu z zależnością $ a-b = c-d $ daje $ a = c $ i $ b = d $. Zatem

\[<br />
(3)\qquad PE^{2}-EQ^{2}=PD^{2}-QD^{2}=(r_{1}^{2}+b^{2})-(r_{2}^{2}+d^{2})=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}.<br />
\]

Równości (1) i (3) pociągają zależność $ (\lambda^{2}-1)(r_{1}^{2}-r_{2}^{2})=0 $.

Przypuśćmy, że $ \lambda = 1 $. Wówczas $ EQ = r_2 $, a więc okrąg $ o_2 $ jest wpisany w trójkąt $ BCD $. Ponieważ w czworokąt $ ABCD $ można wpisać okrąg, więc okrąg $ \omega $ wpisany w trójkąt $ ABD $ jest styczny do okręgu $ o_2 $. Stąd wynika, że punkty $ Q $, $ E $ oraz środek okręgu $ \omega $ leżą na jednej prostej. To jednak nie jest możliwe, gdyż punkty te znajdują się odpowiednio na bokach $ IC $, $ CA $, $ AI $ trójkąta $ AIC $ i są różne od jego wierzchołków. Otrzymaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że $ \lambda\neq 1 $. Z uzyskanej wyżej równości wynika zatem, że $ r_1 = r_2 $, czyli $ PE = EQ $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź