LVI OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $ n $, dla których

\[<br />
n^n+1\ \textrm{oraz}\ (2n)^{2n}+1<br />
\]

są liczbami pierwszymi.

Rozwiązanie

Niech $ a\geq 2 $, $ m\geq 1 $ będą liczbami całkowitymi. Wykażemy najpierw, że jeśli liczba $ m $ ma dzielnik nieparzysty większy od 1, to liczba $ a^m+1 $ jest złożona. Istotnie: jeśli $ l $ jest dzielnikiem nieparzystym liczby $ m $ to $ m=ld $ dla pewnej liczby całkowitej $ d $ dodatniej oraz

\[<br />
a^{m}+1=(a^{d})^{l}+1=(a^{d}+1)\cdot((a^{d})^{l-1}-(a^{d})^{l-2}+\ldots-a^{d}+1).<br />
\]

Z powyższego wzoru wynika, że liczba $ a^{d}+1 $ jest dzielnikiem liczby $ a^{m}+1 $. Dla $ l>1 $ dzielnik ten jest większy od 1 i mniejszy od $ a^{m}+1 $. Zatem liczba $ a^{m}+1 $ jest złożona.

Liczba $ n=1 $ spełnia warunki zadania: liczby $ 1^1+1=2 $, $ 2^{2}+1=5 $ są liczbami pierwszymi. Załóżmy więc w dalszej części rozumowania, że $ n\geq 2 $.

Jeśli liczba $ n^{n}+1 $ jest liczbą pierwszą, to $ n $ nie ma dzielników nieparzystych większych od 1. Stąd wynika, że $ n=2^k $ dla pewnej liczby całkowitej dodatniej $ k $. Wówczas

\[<br />
(1)\qquad n^{n}+1=2^{k\cdot 2^{k}}+1\ \text{oraz}\ (2n)^{2n}+1=2^{(k+1)\cdot 2^{k+1}}+1.<br />
\]

Dla $ k\geq 2 $ co najmniej jedna z liczb $ k\cdot 2^{k} $, $ (k+1)\cdot 2^{k+1} $ ma dzielnik nieparzysty większy od 1, a więc co najmniej jedna z liczb (1) jest złożona. Wobec tego musi być $ k=1 $, czyli $ n=2 $.

Pozostało upewnić się, że liczba $ n=2 $ spełnia warunki zadania: liczby $ 2^2+1=5 $ oraz $ 4^4+1=257 $ są liczbami pierwszymi.

Odpowiedź: $ n=1 $ lub $ n=2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź